Processing math: 100%

Table of Integrals - Forms Involving Inverse Hyperbolic Functions

The integrals below involve inverse hyperbolic functions.

1) $int sinh^-1(x/a) dx = x sinh^-1(x/a)-sqrt(x^2+a^2)$

2) $int x*sinh^-1(x/a) dx = (x^2/2+a^2/4)sinh^-1(x/a)-(xsqrt(x^2+a^2))/4$

3) $int x^2 sinh^-1(x/a) dx = x^3/3sinh^-1(x/a)+((2a^2-x^2)sqrt(x^2+a^2))/9$

4) $int (sinh^-1(x/a))/x dx = x/a-(x/a)^3/(2*3*3)+(1*3(x/a)^5)/(2*4*5*5)-(1*3*5(x/a)^7)/(2*4*6*7*7)+...$ **[For $absx < a]$

OR $= (ln^2((2x)/a))/2-(a/x)^2/(2*2*2)+(1*3(a/x)^4)/(2*4*4*4)-(1*3*5(a/x)^6)/(2*4*6*6*6)+...$ **[For $x > a$ ]

OR $=-(ln^2((-2x)/a))/2+(a/x)^2/(2*2*2)-(1*3(a/x)^4)/(2*4*4*4)+(1*3*5(a/x)^6)/(2*4*6*6*6)-...$ **[For $x < -a$ ]

5) $int (sinh^-1(x/a))/x^2 dx = -(sinh^-1(x/a))/x-1/a ln((a+sqrt(x^2+a^2))/x)$

6) $int cosh^-1(x/a) dx = x*cosh^-1(x/a)-sqrt(x^2-a^2)$ **[For $cosh^-1(x/a) > 0$ ]

OR $=x*cosh^-1(x/a)+sqrt(x^2-a^2)$ **[For $cosh^-1(x/a) < 0$ ]

7) $int x*cosh^-1(x/a) dx = 1/4(2x^2-a^2) cosh^-1(x/a)-1/4 x sqrt(x^2-a^2)$ **[For $cosh^-1(x/a) > 0$ ]

OR $=1/4(2x^2-a^2) cosh^-1(x/a)+1/4 x sqrt(x^2-a^2)$ **[For $cosh^-1(x/a) < 0$ ]

8) $int x^2 cosh^-1(x/a) dx = 1/3x^3cosh^-1(x/a)-1/9(x^2+2a^2)sqrt(x^2-a^2)$ **[For $cosh^-1(x/a) > 0$ ]

OR $= 1/3x^3cosh^-1(x/a)+1/9(x^2+2a^2)sqrt(x^2-a^2)$ **[For $cosh^-1(x/a) < 0$ ]

9) $int (cosh^-1(x/a))/x dx = +-[1/2 ln^2((2x)/a)+(a/x)^2/(2*2*2)+(1*3(a/x)^4)/(2*4*4*4)+(1*3*5(a/x)^6)/(2*4*6*6*6)+...]$

**[ $+$ if $cosh^-1(x/a) > 0$ ; $-$ if $cosh^-1(x/a) < 0$ ]

10) $int (cosh^-1(x/a))/x^2 dx = -(cosh^-1(x/a))/x+-1/a ln ((a+sqrt(x^2+a^2))/x)$

**[ $+$ if $cosh^-1(x/a) < 0$ ; $-$ if $cosh^-1(x/a) > 0$ ]

11) $int tanh^-1(x/a) dx = x*tanh^-1(x/a)+a/2 ln (a^2-x^2)$

12) $int x*tanh^-1(x/a) dx = (ax)/2+1/2(x^2-a^2)tanh^-1(x/a)$

13) $int x^2tanh^-1(x/a) dx = (ax^2)/6+x^3/3 tanh^-1(x/a)+a^3/6 ln (a^2-x^2)$

14) $int (tanh^-1(x/a))/x dx = x/a+(x/a)^3/3^2+(x/a)^5/5^2+...$

15) $int (tanh^-1(x/a))/x^2 dx = -(tanh^-1(x/a))/x+1/(2a) ln (x^2/(a^2-x^2))$

16) $int coth^-1(x/a) dx = x*coth^-1x+a/2 ln(x^2-a^2)$

17) $int x*coth^-1(x/a) dx = (ax)/2+1/2(x^2-a^2)coth^-1(x/a)$

18) $int x^2coth^-1(x/a) dx = (ax^2)/6+x^3/3coth^-1(x/a)+a^3/6 ln (x^2-a^2)$

19) $int (coth^-1(x/a))/x dx = -(a/x+(a/x)^3/3^2+(a/x)^5/5^2+...)$

20) $int (coth^-1(x/a))/x^2 dx = -(coth^-1(x/a))/x+1/(2a) ln (x^2/(x^2-a^2))$

21) $int sech^-1(x/a) dx = x*sech^-1(x/a)+a sin^-1(x/a)$ **[For $sech^-1(x/a) > 0$ ]

OR $= x*sech^-1(x/a)-a sin^-1(x/a)$ **[For $sech^-1(x/a) < 0$ ]

22) $int x*sech^-1(x/a) dx = 1/2x^2sech^-1(x/a)-1/2asqrt(a^2-x^2)$ **[For $sech^-1(x/a) > 0$ ]

OR $= 1/2x^2sech^-1(x/a)+1/2asqrt(a^2-x^2)$ **[For $sech^-1(x/a) < 0$ ]

23) $int (sech^-1(x/a))/x dx = -1/2 ln(a/x) ln((4a)/x)-(x/a)^2/(2*2*2)-(1*3(x/a)^4)/(2*4*4*4)-...$ **[For $sech^-1(x/a) > 0$ ]

OR $= 1/2 ln(a/x) ln((4a)/x)+(x/a)^2/(2*2*2)+(1*3(x/a)^4)/(2*4*4*4)+...$ **[For $sech^-1(x/a) < 0$ ]

24) $int csch^-1(x/a) dx = x*csch^-1(x/a)+-a sinh^-1(x/a)$ **[ $+$ if $x > 0$ ; $-$ if $x < 0$ ]

25) $int x*csch^-1(x/a) dx = x^2/2csch^-1(x/a)+-(asqrt(x^2+a^2))/2$ **[ $+$ if $x > 0$ ; $-$ if $x < 0$ ]

26) $int (csch^-1(x/a))/x dx = 1/2 ln(x/a) ln((4a)/x)+(1(x/a)^2)/(2*2*2)-(1*3(x/a)^4)/(2*4*4*4)+...$ **[For $0 < x < a$ ]

OR $= 1/2 ln(-x/a) ln(-x/(4a))-(x/a)^2/(2*2*2)+(1*3(x/a)^4)/(2*4*4*4)+...$ **[For $-a < x < 0$ ]

OR $= -a/x+(a/x)^3/(2*3*3)-(1*3(a/x)^5)/(2*4*5*5)+...$ **[For $absx > a$ ]

27) $int x^m sinh^-1(x/a) dx = x^(m+1)/(m+1)sinh^-1(x/a)-1/(m+1) int x^(m+1)/sqrt(x^2+a^2) dx$

28) $int x^m cosh^-1(x/a) dx = x^(m+1)/(m+1) cosh^-1(x/a)-1/(m+1) int x^(m+1)/sqrt(x^2-a^2) dx$ **[For $cosh^-1(x/a) > 0$ ]

OR $= x^(m+1)/(m+1) cosh^-1(x/a)+1/(m+1) int x^(m+1)/sqrt(x^2-a^2) dx$ **[For $cosh^-1(x/a) < 0$ ]

29) $int x^m tanh^-1(x/a) dx = x^(m+1)/(m+1) tanh^-1(x/a)-a/(m+1) int x^(m+1)/(a^2-x^2) dx$

30) $int x^m coth^-1(x/a) dx = x^(m+1)/(m+1) coth^-1(x/a)-a/(m+1) int x^(m+1)/(a^2-x^2) dx$

31) $int x^m sech^-1(x/a) dx = x^(m+1)/(m+1) sech^-1(x/a)+a/(m+1) int x^m/sqrt(a^2-x^2) dx$ **[For $sech^-1(x/a) > 0$ ]

OR $= x^(m+1)/(m+1) sech^-1(x/a)-a/(m+1) int x^m/sqrt(a^2-x^2) dx$ **[For $sech^-1(x/a) < 0$ ]

32) $int x^m csch^-1(x/a) dx = x^(m+1)/(m+1) csch^-1(x/a) +- a/(m+1) int x^m/sqrt(x^2+a^2) dx$ **[ $+$ if $x > 0$ ; $-$ if $x < 0$ ]