五、    曲面曲线的曲率半径

       [法截线的曲率半径与欧拉公式]  设

右边为正时，表示法截线的法线单位矢量n与曲面的法线单位矢量N一致，则法截线的曲率半径为；右边为负时，表示n与N相反，则法截线的曲率半径为。

       若通过法截线的截平面与通过主法截线的截平面之间的夹角为，则

式中为主曲率半径，称为法曲率，这个等式称为欧拉公式。

[任意平截线的曲率半径]  用通过点M的任意平面截曲面得截线C（图），它在点M的切线为PQ，曲线C的法线单位矢量为n，通过直线PQ和曲面的法线单位矢量N作意平面，截曲面得法截线。若矢量N与n夹角为，而的曲率半径为，则截线C的曲率半径为

                                        （1）

  [曲面上任意曲线的曲率半径与梅尼埃定理]

  设曲面上任意曲线B上一点M的密切面与曲面交线为C，则曲面B的曲率半径等于截线C的曲率半径，于是从式（1）得到梅尼埃定理：曲面上任意曲线B的曲率半径等于在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半径在曲线B的主法线上的正射影。