3、平方可积函数

[L₂空间]  若S是有界可测集，f(x)为S上的可测函数，可积，并且

则称为属于空间的函数，记作，或简写为. 在本段中，假定S就是区间.

若，，则都是可积的；并有

[模与距离]  设，则称

为f的模（范数）.

设则称

为f与g的距离.

设则

(i) ，只当几乎处处成立时，

(ii)

(iii)

[平均收敛]  若并且

则称函数序列在内收敛或平均收敛，且其极限为，记作

                                       *

平均收敛有以下性质：

1^o若，则

在上几乎处处成立.

2^o若，则

3^o若，则

4^o中点列平均收敛的充分必要条件是它为基本序列.

基本序列的定义如下：设，若对任意总有正整数N，对一切，使得

则称为中的基本序列.

由此可见是完备空间（见第二十一章，§4，一）.

[空间的可分性]

1^o设，则对任意,总有连续函数，使

2^o设，则对任意,总有系数为有理数的多项式，使

因为所有系数为有理数的多项式组成一个可数集合，并在中处处稠密. 所以2^o表明为可分空间（见二十一章，§3，三）.