3、平方可积函数
[L2空间] 若S是有界可测集,f(x)为S上的可测函数,可积,并且
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则称为属于空间
的函数,记作
,或简写为
.
在本段中,假定S就是区间
.
若,
,则
都是可积的;并有
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[模与距离] 设,则称
![](./平方可积函数.files/image026.gif)
为f的模(范数).
设则称
![](./平方可积函数.files/image030.gif)
为f与g的距离.
设则
(i) ,只当
几乎处处成立时,
(ii)
(iii)
[平均收敛] 若并且
![](./平方可积函数.files/image046.gif)
则称函数序列在
内收敛或平均收敛,且其极限为
,记作
平均收敛有以下性质:
1o若,
则
![](./平方可积函数.files/image060.gif)
在上几乎处处成立.
2o若,
则
![](./平方可积函数.files/image067.gif)
3o若,
则
![](./平方可积函数.files/image072.gif)
4o中点列
平均收敛的充分必要条件是它为基本序列.
基本序列的定义如下:设,若对任意
总有正整数N,对一切
,使得
![](./平方可积函数.files/image084.gif)
则称为
中的基本序列.
由此可见是完备空间(见第二十一章,§4,一).
[空间的可分性]
1o设,则对任意
,总有连续函数
,使
![](./平方可积函数.files/image098.gif)
2o设,则对任意
,总有系数为有理数的多项式
,使
![](./平方可积函数.files/image105.gif)
因为所有系数为有理数的多项式组成一个可数集合,并在中处处稠密. 所以2o表明
为可分空间(见二十一章,§3,三).