五、一阶线性微分方程组

    [一阶线性偏微分方程组的一般形式两个自变量的一阶线性方程组的形式是

                                  (1)

其中Aij,Bij,Cij,Fi,aij,bij,fi(x,t)的充分光滑函数.

    [特征方程·特征方向·特征曲线]

称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向称为该点的特征方向.如果一条曲线l,它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致,那末称曲线l为特征曲线.

    [狭义双曲型方程与椭圆型方程如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向,那末称方程组在D内为狭义双曲型的.

    如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向,那末称方程组在D内为椭圆型的.

    [狭义双曲型方程组的柯西问题]

    1°  化方程组为标准形式对角型

    因为det(aij-ij)=0n个不同的实根1(x,t) n(x,t),不妨设

那末常微分方程

的积分曲线li  (i=1,2,,n)就是方程组(1)的特征曲线.

    方程

的非零解(k(1) k(n))称为对应于特征方向k的特征矢量.

    作变换

可将方程组化为标准形式对角型

    所以狭义双曲型方程组可化为对角型,而一般的线性微分方程组(1)如在区域D内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话,(此时不一定要求 i都不相同),就称这样的微分方程组在D内为双曲型的.

    2°  对角型方程组的柯西问题

    考虑对角型方程组的柯西问题

i(x)[a,b]上的连续可微函数.ij,i,i在区域D内连续可微,在D内可得相应的积分方程组

式中为第i条特征曲线li上点(x,t)与点(xi,0)之间的一段,(xi,0)lix轴上[a,b]的交点.上式可以更确切地写为

                                    (i=1,2n)

式中xi=xi(x°,t°,t)为过点(x°,t°)的第i条特征曲线,利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令

序列{vi(k)}(k=0,1,2)一致收敛于积分方程的连续可微解vi(x,t)  (i=1,2n),这个vi(x,t)也就是对角型方程组的柯西问题的解.

    设在区域D内对角型方程组的柯西问题的解存在,那末解与初值有下面的关系:

    (i)    依赖区间:过D中任意点M(x,t)作特征曲线l1,ln,交x轴于B,A,称区间[A,B]M点的依赖区间(14.1(a)),解在M点的值由区间[A,B]的初值确定而与[A,B]外的初值无关.

    (ii)决定区域:过点A,B分别作特征曲线ln,l1,ln,l1 与区间[A,B]围成的区域D1为区间[A,B]的决定区域(14.1(b)),在区域D1中解的值完全由[A,B]上的初值决定.

    (iii)  影响区域:过点A,B分别作特征曲线l1,lnl1,ln[A,B]围成的区域D2为区间[A,B]的影响区域(14.1(c)).特别当区间[A,B]缩为一点A时,A点的影响区域为D3(14.1(d)).在区域D2中解的值受[A,B]上的初值影响,而在区域D2外的解的值则不受[A,B]上的初值影响.

14.1

    [线性双曲型方程组的边值问题以下列线性方程组来说明:

                                      (1)

    1°  第一边值问题(广义柯西问题设在平面(x,t)上给定曲线段,它处处不与特征方向相切.A,B分别引最左和最右的特征曲线l1l2.要求函数u(x,t),v(x,t)l1l2围成的闭区域上满足方程组,且在上取给定的函数值(14.2(a)).

    2°  第二边值问题(古沙问题l1是过P点的第一族特征线,l2是第二族特征线,在l1的一段PA上给定v(x,t)的数值,在l2的一段PB上给定u(x,t)的数值,过A点作第二族特征线,过B点作第一族特征线相交于Q.求在闭区域PAQB上方程组的解(14.2(b)).

    3°  第三边值问题  AB为非特征曲线的曲线弧,AC为一特征线弧,且在ABAC之间不存在过A点的另外特征曲线,C点作第二族特征线与过B点的第一族特征线交于E点,在AC上给定v(x,t)的数值,在AB上给定u(x,t)的数值,求ACEBA所围成的闭区域D上的方程组的解(14.2(c)).

14.3

                                     14.2

    [边值问题的近似解特征线法以上定解问题,可用逐步逼近法求解,也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.

    在曲线ABn个分点A1,A2, An并记AA0BAn+1A0A0的第二特征方向作直线与过A1A1的第一特征方向作直线相交于B0;过A1A1第二特征方向作直线与过A2A2的第一特征方向作直线相交于B1最后得到Bn(14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u(x,t),v(x,t)Bi   (i=0,1,2,,n)的数值:

于是在一个三角形网格的节点上得到u,v的数值.再经过适当的插值,当n相当大,AiAi+1的距离相当小时,就得到所提问题的足够近似的解.

    [特殊形式的拟线性方程组可化约系统一般的拟线性方程组的问题比较复杂,目前研究的结果不多,下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组可化约系统.如果方程组

中所有的系数只是u,v的函数,称它为可化约系统.

    考虑满足条件

的方程组的解u=u(x,t),v=v(x,t).x,t可以表示成u,v的函数,且

原方程化为

这是关于自变量u,v的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足的解,化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件 的解,在(x,t)平面上的象即为原来拟线性方程组的解.