五、二阶偏微分方程的常用解法

    1.  分离变量法

    它是解线性微分方程常用的一种方法,特别当区域是矩形、柱体、球体时使用更为普遍.这种方法是先求满足边界条件的特解,利用迭加原理,作这些特解的线性组合,得到定解问题的解.求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数.以下对不同类型方程说明分离变量法的具体解法.

    [弦振动方程]

    1°  两端固定的弦振动齐次方程混合问题

    u(x,t)=X(x)T(t),具体解法如下:

    (1)    X(x)T(t)满足的常微分方程:

  

    (2)    用此二常微分方程的解的乘积表示弦振动方程的特解un(x,t).

    解边值问题

                          

时,有非零解

λn为边值问题的特征值,Xn(x)为特征函数.λn代入T(t)的方程,得

式中An,Bn为任意常数,这样就得到弦振动方程的特解:

    (3)    un(x,t)迭加,形式上作级数

    (4)    利用特征函数的正交性,确定系数An,Bn.

    (x)(x)展开成傅立叶级数

式中

利用初始条件可得

于是混合问题的形式解为

    (i) (x)具有一阶和二阶连续导数,三阶导数逐段连续,且(0)=(l)"(0)="(l)=0;(ii)(x)连续可微,二阶导数逐段连续,(0)=(l)=0,那末形式解右端的级数一致收敛,形式解就是混合问题的正规解.

    2°  解的物理意义

弦的这种形式的振动称为驻波,点 (m=0,1n) 为不动的点,称为节点;点 (m=0,1,2n1)处振幅最大,称为腹点;称为弦振动的固有频率;弦线发出的最低音的频率为 τ为张力,ρ为弦的线密度)称为该弦的基音,其他频率都是它的整数倍,称为泛音.

    3°  非齐次方程的混合问题

    u(x,t)f(x,t)展开成傅立叶级数:

    那末根据定解条件再利用1°(x)(x)的傅立叶展开式,有

所以

形式解为

    (x)具有一、二阶连续导数,三阶导数逐段连续,(x)f(x,t)连续可微,二阶导数逐段连续,同时

(0)=(l)="(0)="(l)=0

(0)=(l)=f(0,t)=f(l,t)=0

则级数一致收敛,形式解就是非齐次方程混合问题的正规解.

    4°  遇到非齐次边界条件

作变换

可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解.

    [热传导方程]  热传导方程的第一边值问题

    u(x,t)=X(x)T(t),得

X"(x)+2X(x)=0

T'(t)+a22T(t)=0

    特征值,对应的特征函数为,而

   

    作形式解

式中cn等于(x)的傅立叶系数即.

    (x)具有一、二阶连续导数,三阶导数逐段连续,(0)=(l)=0,则上述级数一致收敛,形式解就是正规解了.

    [拉普拉斯方程]  球内定常温度分布的狄利克莱问题—拉普拉斯方程的狄利克莱问题.

    选用球坐标

    u(r, ,)=v(r,)().代入方程,分离变量

"()+k2()=0                                          (1)
                        (2)

利用对于变量的周期性,u(r, , )=u(r, , +2),可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1),那末(){cosm,sinm}.再将方程(2)分离变量,令v=R(r)H(),得

                                                 (3)
                          (4)

方程(4)的解可用勒让德多项式表示,为了使解有界,λ只能取

λn2=n(n+1)        (n=0,1,2,)

对应的解H()=Pn(m)(cos)Pn(x)为勒让德多项式

方程(3)可写成

这是欧拉方程,其有界解为R(r)=c1rn.最后将u的特解迭加,利用边界条件和球函数的正交性得

式中Pn(m)(cos)为一般勒让德函数.

    如果二次连续可微,则表示的级数一致收敛,它就是狄利克莱问题的解.

    [高阶方程]  梁的横向振动方程为

a为常数)                             (1)

定解条件为

    y(x,t)=X(x)T(t),那末

方程(2)满足X"(0)=X"(l)=0的特征值,特征函数 (n=1,2),方程(3)的解为

所以方程(1)的形式解为

y(x,0)=x(lx)

最后得到方程(1)的解.