第十章 复变函数
本章研究的对象是定义在复数域上的复值函数（简称复变函数）.重点研究一类比较特殊的复变函数——解析函数.主要内容包括解析函数的分析属性（微积分理论及级数表示）、几何性质（保角映射）等.
§1 解析函数
一、复变函数基本概念与复变函数的导数
[单值函数与多值函数] 设Σ是扩充复平面（即包含无穷远点∞的平面）z上的一个区域（第二十一章§5，二），对于Σ内的每个复数z，按照一定的规律，有一个或多个复数ω和它对应，就称在Σ上定义了一个复变函数，记作
区域Σ称为函数的定义域.
如果每一个复数z都只有一个复数ω和它对应（允许不同的复数z对应于同一个复数ω），就称函数是单值的；如果有的复数z有多个ω值和它对应，就称函数是多值的.下面如果不加说明，一律都指单值函数.
[映射·象·原象] 如果复数z用复平面z（简称z平面）上的点表示，复数ω用复平面ω（简称ω平面）上的点表示，那末复变函数就是z平面上区域Σ的点和ω平面上的某个点集（第二十一章§3，一）F的点之间的对应关系.这样一来，复变函数可以看成几何上的“映射”（变换）（第二十一章§1，二），点ω（）称为点z的象（象点），点z称为点ω的原象（象源）.一般地，当点z在复平面z上画出一个图形A（或点集）时，相应地，它的象点ω在复平面ω上就画出一个图形（或点集）B.称B为A的象，A为B的原象.称函数把A映上B.
[单叶函数与多叶函数·反函数] 如果函数在点集A上单值的，并且对于点集A上的任意两个不同的点z1和z2,它们的象ω1=f(z1)和ω2=f(z2)也不同，那末称函数在点集A上是单叶的，如果点集A上至少有两个不同的点z1和z2使
，那末称函数在点集A上是多叶的.
如果单值函数又是单叶的，它就表示A和B的点之间的一对一对应关系，并且对于B上的每一点ω，A上有一个且只有一个点z和它对应.记作
它称为函数的反函数（单值的）.
如果函数在点集A上不是单叶的，那末它的反函数就是多值的了.
[双方单值连续的映射定理]
设ω=f(z)是z平面区域Σ内的单值连续函数，如果它又是单叶的，那末Σ的象Δ仍是一个区域，而且反函数在Δ内连续.这种双方单值连续的映射称为拓扑映射或同胚映射.
[复变函数的极限] 设z0是函数f(z)的定义域内的一点，如果对任意小的正数ε，都存在一个正数
，使得对于任意满足条件∣
的复数z（复数z0本身可能除外），都有
那末复数A（有限或无限）称为函数ω=f(z)当z趋于z0时的极限，记作
[复变函数的连续性与一致连续性]
设z0是函数f(z)的定义域内的一点，如果函数ω=f(z)当z→z0时极限存在有限，而且同时满足
那末称函数ω=f(z)在点z0是连续的，如果函数ω=f(z)在区域Σ上每一点都连续,称函数ω=f(z)在区域Σ上是连续的.
如果对于任意小的正数ε，都存在一个正数δ=δ(ε)，使得区域Σ内满足条件
的任意两点z1和z2，都有
∣
那末称函数f(z)在Σ上一致连续.
函数在区域Σ上一致连续，一定在Σ上连续，反过来，函数在区域Σ上连续，不一定保证函数在Σ上一致连续.但是，如果Σ是有界闭区域（记作
）,那末上的连续性和一致连续性就等价了.同时，有界闭区域上连续函数ω=f(z)还有类似于微分学中闭区间上连续函数的另外两个性质:
1o 如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续，那末存在一个正数M，使得对于上所有的z，都有
∣ 
2o 如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续，那末函数f(z)的模
在上可以达到最大值和最小值，也就是说，在上有两点z1和z2，使得对于上所有的z，都有
∣ 
∣
[复变函数的导数]
设函数ω=f(z)定义在区域Σ上，z0是Σ内的一点，如果极限
存在,而且有限，那末这个极限值就称为函数f(z)在点z0的导数，记作
并且称函数
在点
可微（单演、全纯）.
复变函数可微的定义与实变函数可微的定义在形式上是一样的，因此复变函数的求导数的一些法则、公式与实变函数的求导数的一些法则、公式在形式上也是一样的.但是另一方面，由于在复变函数的可微性定义中，动点z趋于z0点是在平面上，方式是任意的，它可沿任一曲线趋于z0，这表明复变函数可微的条件比实变函数可微的条件要求高，从而带来复变函数论不少独特的性质和应用.
[复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）]
设z平面上通过z0的曲线C，经过映射ω=f(z)（可微）的象是ω平面上通过
的曲线
，如果
那末
1o∣
称为映射ω=f(z)在z0的伸缩系数，它等于曲线上通过ω0的无穷小弦长与曲线C上通过z0的无穷小弦长之比的极限，它与曲线C和曲线的选择无关；
2o 
称为映射ω=f(z)在z0的旋转角，如果把z平面与ω平面迭放在一起，使点z0与点ω0重合，x轴与u轴平行且正方向相同，那末就等于曲线C在z0的切线到曲线在对应点ω0的切线所转过的角度，它与曲线C和曲线的选择无关.
二、
解析函数
一般地，复数函数ω=f(z)可以写成
这样，对于一般的复变函数的讨论就等价于对两个双变量的实变函数的讨论.但是，在生产实践和科学实验中，常常遇到的是一类比较特殊的复变函数——解析函数.对于这一类函数，去研究复变函数f(z)本身比拆开来研究两个实变函数u(x,y)和v(x,y)更方便，得到的结论更简捷完整，便于应用.
1、解析函数的定义与柯西-黎曼方程
[解析函数与柯西-黎曼方程] 如果复变函数f(z)在点z=z0的一个充分小领域*内点点可微，就称这个函数在点z0是解析的；如果函数f(z)在一个区域Σ内点点可微就称它在区域Σ内是解析的（正则，全纯）.
如果定义在区域Σ内的函数
在Σ内解析，那末u(x,y)和v(x,y)在Σ内满足下面的柯西-黎曼方程
反过来，如果u(x,y)，v(x,y)在Σ内满足上面的条件，并且可微，那末f(z)在Σ内解析.这时，解析函数f(z)的导数可以表示成下面四种形式之一：
[调和函数] 在区域Σ内存在二阶连续偏导数的实变函数u(x,y),如果在Σ内满足拉普拉斯方程
那末称函数u=u(x,y)是Σ内的调和函数.
区域Σ内的解析函数f(z)的实部和虚部都是调和函数.
[形式导数] 将
或
看作变量替换而引进形式导数
如果f(x,y)是实变数x,y的有连续偏导数的函数，那末
这样一来，柯西-黎曼方程可写成
拉普拉斯方程可写成
极坐标
中的柯西-黎曼方程可写成
2、解析开拓
[直接解析开拓]如果
是两个有公共边界Г的单连通区域*，
和
分别在
和
内单值解析，在
Г和
Г上连续，并且在Г上
，那末称是经过Г向内的直接解析开拓（或延拓）（图10.1）。
[解析开拓与完全解析函数]设
为单连通区域，
与
有公共边界
,
,对于任何k
,
在内单值解析.
与
分别在
和
上连续
,并且在上
，那末称
是f1(z)经过一串区域向
内的解析开拓.
考虑f1(z)经过所有可能的区域串的各种解析开拓，把所有这些解析开拓的值当作一个函数F(z)的值来看。这时称F(z)为完全解析函数，而组成它的那些单值解析函数，即f1(z)的各种解析开拓，称为F(z)的分支.
3、初等解析函数
[有理函数]
式中P(z)和Q(z)没有公因式，R(z)在Q(z)的零点上取值∞，那末R(z)在扩充平面上连续.
当n>m, R(z)在∞处有一个n-m阶零点；当n<m, ∞是R(z)的m-n阶极点（§4，一，3）；当n=m,有
在扩充平面上，有理函数的零点的个数（包括∞是零点在内）等于极点的个数，它等于m与n中较大的一数，有理函数的阶数就用它来定义.因此，一个k阶的有理函数R(z)有k个零点和k个极点，同时每个方程R(z)=a（a是任一常数）有k个根（几重根就算几个根）.
时的有理函数就是常用的分式线性函数（§2，二与三）.
[幂函数及其反函数]
1o 幂函数
整数)在全平面上单值解析,它把扩充z平面映射到扩充ω平面,而且
,∞分别映射到
,∞,这个函数在全平面上是多叶函数.
设
则
函数
把从原点出发的半直线映射成从原点出发的半直线,把从原点为圆心的圆周映射成以原点为圆心的圆周,把z平面上的角状区域
映射成ω平面上除去半直线
的裂缝区域,在上面的角状区域内,函数
是单叶解析的,这样的区域称为函数
的单叶性区域，z平面只能分成n个单叶性区域.
2o 函数
,整数)在全平面(ω平面)上是多值函数,因为
所以每个不等于0和
的
，在
平面上有
个点和它对应，并且这个点分布在圆
的一个内接正边形的顶点上.
函数
有n个分支
或者说是n值函数.
[指数函数与对数函数]
1o 指数函数
是全平面上的单值解析函数,在全平面上没有零点，是周期函数,周期是
,即
.当z沿实轴趋于
时,
,当z沿实轴趋于
时,
.所以,当
没有极限,
不能定义于扩充平面.
设
,则
函数
把直线
映射成射线
;把线段
,
映射成圆周
;把带状区域
映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域;把带状区域映射成上半平面;把一切带状区域
映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域.所以,指数函数在全平面上是多叶函数.
2o 对数函数
的表达式是
由于
是无限多值的,所以对数函数是无限多值函数,并且对应同一ω值的任意两个函数值
相差
的整数倍.设对数函数的主值是
那末
带状区域
和
都是函数的单叶性区域,它们有无穷多个,所以函数
有无穷多个分支,或者说是无穷多值函数.
[三角函数与反三角函数]
1o 正弦函数和余弦函数分别由下式定义:
和
是全平面上的单值解析函数,并且有周期
,所以是多叶函数.
2o 正切函数和余切函数分别由下式定义:
在全平面上除去
的点外是解析的;
在全平面上除去
的点外是解析的.它们都是以
为周期的周期函数.
平面三角学的一切三角公式对于复的三角函数都适用.必须注意,在复平面上
与
不再成立，例如,
.
3o 反余弦函数通过解方程
得到
类似地,有
反三角函数是无穷多值函数.它们的主值只要在各式右端把
换成
(对数的主值)即可.
[双曲函数与反双曲函数]
1o 双曲函数的定义是:
2o 双曲函数与三角函数的关系:
3o 反双曲函数的定义是:
反双曲函数是无穷多值函数，它们的主值只要在上面各式中将换成即可.
4、 黎曼面·支点与支线
[n值函数
的黎曼面] 
有n个分支：
的各个分支把除去正实轴的z平面相应地单值映射到下面各个扇形区域：
所以，除去正实轴的z平面上的任一点在平面上的象点都有n个，这时，假设原来z平面上同一位置的z点，可以区别成n个不同的点，它们分别落在n叶沿正实轴剪开的z平面上：
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|
至于正实轴上的点，只要把T0的下岸（
）与T1的上岸相粘接，再把T1的下岸与T2的上岸相粘接，……，最后把
的下岸（
）与T0的上岸（
）相粘接，于是正实轴上的任一点也可以区分成个点了.这样相互粘接的叶沿正实轴剪开的平面，称它是的黎曼面，图10.2是n=4的情况。在它的黎曼面上是单值的了 .
处是特殊的情况，它连接n叶平面.称它是n-1阶支点，
也是
阶支点.连接两个支点和的正实轴称为支线.
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[多值函数
的黎曼面] 函数有无穷多分支：
与
的黎曼面的想法类似，
的黎曼面是由无穷多叶沿正实轴剪开的z平面粘接而成，图10.3 是它的示意图.
函数在它的黎曼面上是单值的了.
和都是的无穷阶支点.
一般地，如果函数在区域D内不是单值的，可将区域的概念推广，使在新的区域内，函数变成单值的.这种推广了的区域，称为函数的黎曼面.