§2 保角映射
一、保角映射及其性质
[保角映射及其充分必要条件] 如果在区域内任一点
的邻域里函数
的映射满足条件:(i)伸缩性不变(§1,一),(ii)旋转角不变,并保持角的定向(§1,一),那末称函数
的映射是区域
内的保角映射(保角变换).
在区域
内是保角映射的充分必要条件是:
在
内解析且导数
在
内处处不等于零.
[区域D内保角映射的性质]
1o D内任一无穷小圆周的象在相差一个高阶无穷小的程度内是圆周.
2o D内两曲线的夹角映射后保持不变(保角性).
3o D内任一区域(包括D自身)的象是区域.
4o 在D内任一点,不能达到极大值,也不能达到极小值.
5o D内任一点z,都各有一邻域,在这邻域里,是单叶的.
二、分式线性映射及其性质
分式线性函数
所实现的映射称为分式线性映射(分式线性变换).它的逆映射
也是一个分式线性映射.规定与
分别对应
与
,当c=0时,规定
对应
,那末分式线性映射确定了一个扩充
平面与扩充
平面之间的一个一对一的对应关系.同时,除了点
是一阶极点外,在扩充平面上处处解析.
反过来,如果函数在扩充
平面上单叶,并且除了一点
(这一点是函数的一阶极点)外处处解析,那末
必是分式线性函数.
分式线性映射具有性质:
1o 在扩充平面上处处有保角性(通过处两直线的夹角定义为两直线经变换
后的两曲线在
处的夹角).
2o 在分式线性变换下,圆周仍变为圆周(直线当作半径无限大的圆周).
3o 关于圆或直线的对称点(见§2,三的脚注)映射后的象保持对称性.
4o 存在唯一的分式线性映射把平面上的任意三点
分别映射到
平面上的 任意三点
,这样的分式线性映射是
5o 扩充平面上的任意一个圆,都可以找到一个分式线性映射将它映射到扩充
平面上的任意一个圆.
6o
在分式线性映射下,四点的交比保持不变(
的交比是
).注意,四点共圆(或共线)的充分必要条件是它们的交比为实数.
三、简单分式线性映射
图形 |
说明 |
[平移映射] |
映射 把图形平移一个复数 |
[伸缩与旋转映射]
|
映射 把模以原点为中心伸缩 |
[反演映射]
|
映射 把单位圆内(外)一点映射到圆外(内)一点(这两点同在一条过原点的射线上,而且它们的模互为倒数)而后再把这个象点映射到它关于实轴的对称点上.
点 |
[上半平面到上半平面(或下半平面)的映射]
|
映射 (i)当 (ii)当 (iii)当 |
图形 |
说明 |
[上半平面到单位圆内的映射] ( |
映射
与单位圆 |
[单位圆内到单位圆内的映射] (圆
|
映射 把已知圆 |
四、对称原理与多边形映射
[对称原理] 设和
是
平面上关于它们公共边界
(一段圆弧)对称的两个区域,而
和
是
平面上关于它们公共边界
(一段圆弧)对称的两个区域.
如果函数满足下列条件:(i)
将
保角映射到
;(ii)
在
上连续,将
单叶映射到
.那末存在一个函数
具有性质:
1o 把区域
保角映射到区域
.
2o 在内,
.
3o 将区域内关于
对称的两点映射到区域
内关于
对称的两点.
[多边形映射] 多边形映射是把半平面映射到一个多边形的映射.
设平面实轴上有
个点
,
平面上一
边形,顶点是
,在点
处的顶角是
,那末施瓦兹-克里斯托弗尔积分
|
是三个常数)把
平面的上半平面映射到已给
边形内部,
平面实轴上的
个点
分别映射到
平面的
边形的
个顶点
(图10.4).
如果平面的无穷远点(设
)与
边形一个顶点(设
)对应,那末映射简化成
例 求矩形映射把平面的上半平面
映射到
平面上的一个矩形
的内部(图10.5).
|
解 首先考虑平面的第一象限映射到矩形内部的右半部分
.同时让
的原象记为
.把这个映射关于
轴的正半轴应用对称原理,就有
,同时根据施瓦兹-克里斯托弗尔积分,所求的映射就是
由于,所以
,又由于
.所以
(1)
即
(2)
设 常数已知,适当选择矩形的长和宽(即
和
),使(1)、(2)式中的常数
.
这是第一类椭圆积分(第十二章§1,十).
五、保角映射的存在唯一性定理(黎曼定理)
除去两个例外(扩充平面或扩充平面除去一点),对单连通区域有下面的保角映射的存在唯一性定理:
设平面上单连通区域
(不包含
)的边界点不止一个,那末在
上存在唯一的单叶解析函数
把
单叶保角映射到单位圆内部
,同时满足
(i)
(ii) 是一常数
.