§2 广义傅立叶级数与傅立叶-贝塞耳级数

一、 广义傅立叶级数

如果连续函数系

（1）

在某区间上正交，又如果函数在上绝对可积，那末以

为系数的级数

称为函数关于正交函数系( 1 )的广义傅立叶级数，记作

f ( x )～

称为关于正交函数系( 1 )的傅立叶系数.

不妨设( 1 )是标准正交函数系，即满足

那末

这时，关于，有贝塞耳不等式

(是平方可积函数

如果对于任意的平方可积函数，封闭性方程

成立，就称这时的正交函数系是封闭的.

二、 傅立叶-贝塞耳级数

[傅立叶-贝塞耳级数]

1^o 设是贝塞耳函数（见第十二章）的正根，那末函数系

在[0, 1]上按权x正交，即

2^o 对于一切在[0, 1]上绝对可积的函数，可作它的傅立叶-贝塞耳级数

f ( x )～

式中

称为函数的傅立叶-贝塞耳系数.

3^o 如果在[0, 1]上除有有限个第一类间断点外处处连续并且逐段可微，那末当 时，它的傅立叶–贝塞耳级数收敛，在连续点处，级数和等于，在间断点处，级数和等于；

如果在[0，1]上绝对可积，在区间上连续并且有绝对可积的导数，那末它的傅立叶—贝塞耳级数在每一区间上一致收敛；

如果在[0，1]上绝对可积，在区间上连续并且有绝对可积的导数，同时，那末它的傅立叶-贝塞耳级数在每一区间上一致收敛.

[第二类傅立叶-贝塞耳级数]

1^o 设是

（H是常数）

的正根，那末，当时，函数系

在[0, 1]上按权x正交.

如果在[0，1]上绝对可积，那末它关于上面正交系的广义傅立叶级数称为的第二类傅立叶-贝塞耳级数，即

～

式中

2^o 如果函数在[0, 1]上逐段可微（至多有有限个第一类间断点），那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数在0<x<1上收敛，并在连续点处等于,在间断点处等于；

如果函数在[0，1]上连续，两次可微（除有限个点外），且=0, ,有界，那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数当时，在每个区间[,1] (0<<1)上绝对且一致收敛；又当时，在整个区间[0，1]上绝对且一致收敛.

[区间[0,l]上的傅立叶-贝塞耳级数]

设在[0,l]上绝对可积，那末它的傅立叶-贝塞耳级数是

f ( x )～

式中

对于第二类傅立叶-贝塞耳级数，

关于级数的收敛性，可通过作变换, ,只讨论在[0，1]上相应的傅立叶-贝塞耳级数的收敛性就可以了.