§5 贝塞耳函数
一、
第一类贝塞耳函数
[第一类贝塞耳函数的定义与表达式]
称为第一类阶贝塞耳函数,它在除去半实轴
的
平面内单值解析(当
为整数时,
在全平面上解析).它满足贝塞耳微分方程
方程中常数(实数或复数)称为方程的阶或解的阶.
当(整数)时,
是
的母函数:
=
且有
[积分表达式]
(泊松积分表示)
(贝塞耳积分表示)
|
在
点,
积分路线如图的“
”字形,在
点
[有关公式]
其中为函数
的两个正零点.
其中为函数
的两个正零点,且
,
是任意给定的常数.
(加法公式)
其中和
表示原点
到平面上任意两点
的距离,
为
和
的交角.
[渐近表达式]
固定,
固定,
(其中
二、
第二类贝塞耳函数(诺伊曼函数)
[第二类贝塞耳函数的定义与其他表达式]
称为第二类贝塞耳函数(有的书中也记作
),又称为诺伊曼函数,它也是贝塞耳微分方程(1)的解,式中
为第一类贝塞耳函数,
和
在除去半实轴
的
平面内的单值解析.
整数)
为欧拉常数)
[积分表达式]
[渐近表达式]
固定,
三、
第三类贝塞耳函数(汉克尔函数)
[第三类贝塞耳函数的定义与表达式]
称为第三类贝塞耳函数,和
分别称为第一类和第二类汉克尔函数,它们在除去半实轴
的
平面内单值解析,且满足贝塞耳微分方程(1).
[积分表达式]
|
正整数,
积分路线如图12.5.
[渐近表达式]
固定,
固定,
四、
各类贝塞耳函数之间的关系与有关公式
[自递推关系] 下面表示贝塞耳函数
及
.
[各类贝塞耳函数之间的关系]
[其他有关公式]
五、
变型贝塞耳函数
[变型贝塞耳函数的定义与表达式]
分别称为第一类和第二类变型贝塞耳函数,也称为白塞特(Basset)函数,它们在除去半实轴
的
平面内单值解析
(
为正整数)
为欧拉常数)
[积分表达式]
为整数)
[有关公式]
[渐近表达式]
固定,
式中“”号这样选取:当
时,取正号,
时,
取负号.