§2 一阶微分方程
一、一阶微分方程解的存在和唯一性
一阶微分方程的一般形式是
如果在所考虑的区域上,那末根据隐函数存在定理(第五章 §3,四,2),解出得
或者写成对称形式
[解的存在和唯一性定理]
给定微分方程
及初始值.
设在闭区域:
上连续,那末方程至少存在一个解,它在处取值,同时在包含的某一区间上确定且连续(此定理称为柯西存在定理).
如果在内对变数还满足李普希茨条件,即存在正数,使得对于内的任意两值 和 ,下面不等式成立:
那末这个解还是唯一的.
二、可积类型及其通解
(表中c为任意常数)
方 程 类 型 |
解法要点与通解表达式 |
1.变量可分离方程
f1(x)g1(y)dx+
f2(x)g2(y)dy=0 |
分离变量,两边同除以g1(y)f2(x),再分别积分.
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2. 齐次方程
一般假设 则变量可分离,属类型1 |
令 代入原方程,得新未知函数u关于自变量x的方程:
xdu = [F(u) – u]dx 再按类型1求解.
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3.线性方程 方 程 类 型 |
先求出所对应的齐次线性方程
解法要点与通解表达式 |
当q(x) ≡ 0, 称为齐次线性方程,当, 称为非齐次线性方程 |
的通解 再利用常数变易法(本章§3,二,2),令
算出, 代入原来的非齐次线性方程,可得
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4.伯努利方程
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利用变量替换化原方程为关于新未知函数的线性方程,再按类型3求解.
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5.全(恰当)微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 式中M,N满足
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方程可写成 M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y)=0 式中dU是全(恰当)微分.
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6.可将y解出的方程 y=F(x,p) 式中 |
把方程两边对x求导数,得
或 如果能求出此方程的通解或, 那末原方程可解.
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[拉格朗日方程] y
= xf1(p) + f2(p) 式中是已知可微函数 [克莱罗方程] y
= xp+F(p) 式中是已知可微函数 方 程 类 型 |
可化为x的线性方程
再按类型3求解 化为方程
令, 即p =c,代入原方程. 解法要点与通解表达式 |
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(见§2,三) |
7.可将x解出的方程 x = F(y, p) 式中 |
方程两边对x求导数,利用
如果可求出这个方程的通解
那末原方程可解.
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8.不显含未知函数的方程
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引入适当参数t,化原方程为
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9.不显含自变量的方程
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引入参数t,化原方程为
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10.能化为变量可分离或齐次方程的方程
方 程 类 型 |
(a)令z = ax + by + c,化原方程为类型1
(b)若行列式
引进新变量
式中α,β满足方程组 解法要点与通解表达式 |
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则原方程化成齐次方程(类型2):
若=0, b1≠0, 则令z = a1x
+ b1
y + c1 ; 若=0, b2≠0, 则令z
= a2x + b2 y + c2, 于是原方程化为类型1. |
11.黎卡提方程
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如果已知原方程有一个特解y=y1(x), 作变换
可把原方程化为线性方程(类型3):
或用变换y = y1(x) + u 化为伯努利方程(类型4):
再分别按类型3和类型4求解. |
12.
含积分因子的方程 M (x, y) dx + N(x,
y) dy = 0 式中 但存在μ(x, y)满足 μ(x, y)称为原方程的积分因子 |
找出积分因子μ(x, y),再按类型5求解.找积分因子的方法见下表. |
找积分因子的方法
条 件 |
积分因子 μ(x, y) |
条 件 |
积分因子 μ(x, y) |
xM+yN=0 xM+yN≠0 条 件 |
积分因子 μ(x, y) |
条 件 |
形为 m(x)n(y) 积分因子 μ(x, y) |
M,N是同次的齐次式 M(x, y) = yM1
(xy) N(x, y) = xN1(xy) |
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存在适合 的常数m和n(用比较系数法确定) 即M+iN在使微分方程满足的单连通区域内是x+iy的解析函数 |
xmyn |
三、奇解及其求法
[微分方程的奇解]
微分方程的一族积分曲线(通解)的包络,称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解,同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线,即在奇解上的每一点,方程的解不是唯一的.
[c-判别曲线法] 设一阶微分方程的通解为,其中c是任意常数,把c看成参数.从下面方程组
中消去c而得到的所有曲线,都称为曲线族的c-判别曲线,其中包含着曲线族的包络.但应注意c-判别曲线不一定都是曲线族的包络,还要作实际检验.
例 求一阶微分方程
的通解和奇解.
解 把方程写成
令y'=p.方程两边对p求导,得
于是有
即
代入原方程,得通解
从
中消去c,得c-判别曲线y=x和.直接代入原方程可知y=x不是已知方程的解,所以不是奇解,而是奇解.
[p-判别曲线法] 对于一阶微分方程,令,那末方程的奇解一定包含在下面方程组
消去p 后得到的曲线(称为p -判别曲线)中.至于p -判别曲线是否是奇解,也需要实际检验.
例 求微分方程
的奇解.
解 从
中消去p得p-判别曲线 ,即y=.代入原方程知y=是奇解.