§2 一阶微分方程

 

一、一阶微分方程解的存在和唯一性

 

    一阶微分方程的一般形式是

    如果在所考虑的区域上,那末根据隐函数存在定理(第五章 §3,四,2),解出

或者写成对称形式

    [解的存在和唯一性定理]  给定微分方程

及初始值.

    在闭区域

上连续,那末方程至少存在一个解,它在处取值,同时在包含的某一区间上确定且连续(此定理称为柯西存在定理).

    如果在内对变数还满足李普希茨条件,即存在正数,使得对于内的任意两值 ,下面不等式成立:

那末这个解还是唯一的.

 

二、可积类型及其通解

 

    (表中c为任意常数)

 

     

解法要点与通解表达式

  1.变量可分离方程

  f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy=0

  分离变量,两边同除以g1(y)f2(x),再分别积分.

 

 

   

 

 2. 齐次方程

    

  一般假设

则变量可分离,属类型1

 

代入原方程,得新未知函数u关于自变量x的方程:

              xdu = [F(u) – u]dx

再按类型1求解.

 

 

  3.线性方程

 

     

  先求出所对应的齐次线性方程

        

解法要点与通解表达式

       

q(x) 0, 称为齐次线性方程,当, 称为非齐次线性方程

的通解 

  再利用常数变易法(本章§3,,2),

算出, 代入原来的非齐次线性方程,可得

 

4.伯努利方程

  利用变量替换化原方程为关于新未知函数的线性方程,再按类型3求解.

 

 

5.全(恰当)微分方程

  M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

式中MN满足

方程可写成

    M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y)=0

式中dU是全(恰当)微分.

 

 

6.可将y解出的方程

       y=F(x,p)

式中

  把方程两边对x求导数,得

            

如果能求出此方程的通解, 那末原方程可解.

 

[拉格朗日方程]

      y = xf1(p) + f2(p)

式中是已知可微函数

[克莱罗方程]

      y = xp+F(p)

式中是已知可微函数

 

     

 可化为x的线性方程

再按类型3求解

  化为方程

, p =c,代入原方程.

解法要点与通解表达式

 

 

 

        (§2,)

 

7.可将x解出的方程

      x = F(y, p)

式中

  方程两边对x求导数,利用

如果可求出这个方程的通解

  

那末原方程可解.

 

 

8.不显含未知函数的方程

   

引入适当参数t,化原方程为

 

 

9.不显含自变量的方程

    

 

引入参数t,化原方程为

 

 

10.能化为变量可分离或齐次方程的方程

 

 

 

     

a)令z = ax + by + c,化原方程为类型1

b)若行列式

引进新变量

式中α,β满足方程组

解法要点与通解表达式

 

则原方程化成齐次方程(类型2):

=0, b10, 则令z = a1x + b1 y + c1

=0, b20, 则令z = a2x + b2 y + c2,

于是原方程化为类型1.

11.黎卡提方程

  如果已知原方程有一个特解y=y1(x), 作变换

可把原方程化为线性方程(类型3)

或用变换y = y1(x) + u 化为伯努利方程(类型4):

再分别按类型3和类型4求解.

12. 含积分因子的方程

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

式中

但存在μ(x, y)满足

μ(x, y)称为原方程的积分因子

找出积分因子μ(x, y),再按类型5求解.找积分因子的方法见下表.

 

找积分因子的方法

 

   

积分因子

μ(x, y)

   

积分因子

μ(x, y)

 

xM+yN=0

 

 

xM+yN0

   

 

积分因子

μ(x, y)

 

 

   

 

形为 m(x)n(y)

 

 

 

 

积分因子

μ(x, y)

M,N是同次的齐次式

 

M(x, y) = yM1 (xy)

N(x, y) = xN1(xy)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 存在适合

的常数mn(用比较系数法确定)

 

M+iN在使微分方程满足的单连通区域内是x+iy的解析函数

 

  xmyn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、奇解及其求法

 

    [微分方程的奇解]  微分方程的一族积分曲线(通解)的包络,称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解,同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线,即在奇解上的每一点,方程的解不是唯一的.

    [c-判别曲线法]  设一阶微分方程的通解为,其c是任意常数,把c看成参数.从下面方程组

中消去c而得到的所有曲线,都称为曲线族c-判别曲线,其中包含着曲线族的包络.但应注意c-判别曲线不一定都是曲线族的包络,还要作实际检验.

      求一阶微分方程

的通解和奇解.

      把方程写成

y'=p.方程两边对p求导,得

于是有

代入原方程,得通解

中消去c,得c-判别曲线y=x.直接代入原方程可知y=x不是已知方程的解,所以不是奇解,而是奇解.

    [p-判别曲线法]  对于一阶微分方程,令,那末方程的奇解一定包含在下面方程组

消去p 后得到的曲线(称为p -判别曲线)中.至于p -判别曲线是否是奇解,也需要实际检验.

      求微分方程

的奇解.

     

中消去pp-判别曲线 ,即y=.代入原方程知y=是奇解.