§6      常微分方程的数值解法

 

一、   一阶微分方程初值问题的数值解

 

    要求微分方程

在初始条件

下的数值解,就是要在解存在的区间的一系列点

上从初值y0出发,逐个求出的近似值 .

    [改进的欧拉方法(预报校正法)]  计算公式为

式中yn表示y(xn)的近似值,表示步长.这里截断误差为

    这个方法中,(1)式用折线法提供初值,称为预报公式.(2)式用梯形法给出较精确的值,称为校正公式.合称预报校正公式.

    [龙格-库塔方法]  计算公式为

式中

截断误差为                                       R=O(h5)

    手算时按下表自上而下进行.

 

k

x0

y0

 

    [阿达姆斯方法]

    1°  内插公式

这是关于的隐式方程,只要h比较小,可用迭代法求解.

    2°  外推公式

这是关于yn+1的显式方程,只要知道前几点的值,就可从公式中直接算出yn+1.

    3°  预报校正公式

截断误差都为

R=O(h5)

    阿达姆斯方法可以单独采用外推公式计算,每算一个yn+1,只要计算一次f(x,y)的值,计算量比龙格-库塔法小,而截断误差同阶,所以计算量小是外推法优点之一.缺点是前几个yi值不能用此法计算,计算y1 ,y2 ,y3需采用其他方法(一般可用龙格-库塔法).

    补充说明   1°  阿达姆斯方法中,计算yn+1的值,要用到所以称为多步法.而改进的欧拉法、龙格-库塔法,只要用到yn,所以称为一步法.

    2°  一步法中途改变步长方便,多步法中途改变步长麻烦,因要用一步法重新算出开头几项.

    3°  多步法还有一个优点,即可顺便估计出截断误差.

    yn+1(E)yn+1(I)分别表示用外推和内插公式算得的值,有

式中.若计算时规定的允许误差不超过ε,就将ε

比较,如果,可继续计算,否则说明误差太大,应当缩小步长.ε小得多,不妨将步长放大,提高计算速度.

 

二、 一阶微分方程组初值问题的数值解

 

    这里为书写简便,只讨论含两个未知函数的微分方程组,含多个未知函数的微分方程组,计算公式类同.

和初始条件

    [改进的欧拉方法(预报校正法)]

    预报公式

    校正公式

    [龙格-库塔方法]  计算公式为

其中

先计算再计算yn+1,zn+1.

    [阿达姆斯方法的预报校正公式]

    预报值(外推公式)

    校正值(内插公式)

    前几个yjzj的计算与本节一中的龙格-库塔方法相同.

 

三、 边值问题

 

    这里只讨论二阶线性常微分方程的边值问题.

                                                 (1)

    [差分方法]  将区间[a,b]分成n等份,步长,分点x0=a, x1=a+h, , xk=a+kh, ,xn=b 称为节点.把微商用差商代替,边值问题化为下面差分方程组的求解问题.

式中yk=y(xk),pk=p(xk),qk=q(xk),fk=f(xk)   ().上面的差分方程组可看成n+1个未知量y0,y1,y2,,yn 的线性代数方程组,方程个数也是n+1.整理合并同类项,差分方程组可改写成

        ()

式中

    这是一种特殊形式的线性代数方程组,除了可用消元法,迭代法等求解外,还可用更简便有效的方法—追赶法(见第四章, §3).

    在应用上,还可能遇到下面形式的边界条件:

式中α1α2β1β2是已知常数.这时,上面差分方程组中相应于边界条件的那两个方程要换成:

    [化为初值问题的数值解]  先求出初值问题

的数值解y0(x),再求出满足初始条件y(a)=0,y'(a)=1的相应齐次方程

的数值解y1(x).原边值问题(1)的解可表示为

 

四、 小参数法

 

    当微分方程含有绝对值很小的参数ε时,将解写成ε的幂级数以求得近似解析解的方法,称为小参数法.下面就常微分方程初值问题作简略介绍.

    给定微分方程组

                                     (1)

假设所有作为t的函数是充分光滑的,作为的函数是解析的,并且在 ε=0可以展开成ε的幂级数

系数又都是x1,,xn的解析函数.

    又给定初始条件

t=t0时,xi=xi(ε)=xi(0) +εxi(1) +                      (2)

于是方程组(1)的满足初始条件(2)的解在tε的某区域上存在,并且可以展开成ε 的幂级数

                            (3)

(3)的任何部分和便是(1)的满足(2)的近似解析解.在具体计算时,只需把级数(3)代入(1),把两边化为ε的幂级数形状,再比较系数.

      求包含小参数ε的黎卡提方程

满足初始条件

t=0, x=0

的解.

     

代入上述微分方程,得

令两边ε的同次幂系数相等,得到

另外初始条件可改写为

于是又可列出

求出

是所求解的近似表达式(即近似解析解).