§3 二阶偏微分方程

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程

考虑二阶偏微分方程

(1)

式中a_ij(x)=a_ij(x₁,x₂,…,x_n)为x₁,x₂,…,x_n的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]

代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a₁,a₂,…,a_n是某些参数，且有.如果点x°=(x₁°,x₂°,…,x_n°)满足特征方程，即

则过x°的平面的法线方向l:(a₁,a₂,…,a_n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.

[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x₁°,x₂°,…,x_n°)，根据二次型

(a_i为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.

(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.

若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.

在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：

椭圆型：

双曲型：

超双曲型：

抛物型：

式中Φ为不包含二阶导数的项.

[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为

(2)

a₁₁,a₁₂,a₂₂为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.

方程

a₁₁dy²a₁₂dxdy+a₂₂dx²=0

称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.

在某点P(x₀,y₀)的邻域D内，根据Δ=a₁₂²－a₁₁a₁₂的符号将方程分类：

当Δ>0时，方程为双曲型；

当Δ=0时，方程为抛物型；

当Δ<0时，方程为椭圆型.

在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：

（i） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式

或

（ii） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式

（iii） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设

为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式

二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理

椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用.

[椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]

1° 极值原理 设D为n维欧氏空间Eⁿ的有界区域，S是D的边界，在D内考虑椭圆型方程

式中a_ij(x),b_i(x),c(x),f(x)在上连续，c(x)≤0且二次型正定，即存在常数μ>0，对任意和任意的a_i有

定理1 设u(x)为D内椭圆型方程的解，它在D内二次连续可微，在上连续，且不是常数，如f(x)≤0（或f(x)≥0），则u(x)不能在D的内点取非正最小值（或非负最大值）.

如果过边界S上的任一点P都可作一球，使它在P点与S相切且完全包含在区域D内，则有

定理2 设u(x)为椭圆型方程在D内二次连续可微，在上连续可微的解，且不是常数，并设f(x)≤0（或f(x)≥0）.若u(x)在边界S上某点M处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数在点M存在，则

(或)

2° 定解问题

(i) 第一边值问题（狄利克莱问题）

(S)

(ii) 第二边值问题（诺伊曼问题）

(S)

其中 N为S的外法线方向.

(iii) 第三边值问题（混合问题）

(S)

a(),b(),()在S上连续，N是S的外法线方向，a()≥0,b()≤0，且a²()+b²()≠0.

3° 解的惟一性问题 设c(x)及b()不同时恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则是惟一的，设c(x)及b()都恒等于零，如果定解问题Lu=f,lu=的解存在，则除相差一个常数外，解是惟一的.

[抛物型方程的极值原理与解的惟一性定理] 设为柱体，在柱体内部 考虑抛物型方程

式中a_ij(x,t),b_i(x,t),c(x,t),f(x,t)在上连续，且正定.

1° 强极值原理 设u(x,t)为抛物型方程Lu=f(x,t)在D×(0,T)内连续可微在上连续的解.并设f(x)=0，若u(x,t)在D×(0,T]的某点(x₀,t₀)取非负的最大值，即

则对任意满足下列条件的点P(x,t)，都有u(x,t)=m：点P(x,t)满足t<t₀ ,且可用完全在D×(0,T] 内的连续曲线x=x(t)与点(x₀,t₀)相连.

如在的侧边界Γ:S×[0,T]上（S是D的边界）任一点P都可作一球，使它在P点与Γ相切且完全在D×(0,T)内，则有

定理 设u(x,t)在上连续，在D×(0,T]内满足抛物型方程Lu=f，且不是常数，设 f≤0，若u(x,t)在Γ上某点M处取非正最小值，只要外法向导数在点M存在，则

2° 柯西问题与混合问题

柯西问题的初值条件是

混合问题按下列的定解条件分别称为

(i) 第一边值问题：,;

(ii) 线性边值问题：,,

其中N为Γ的外法线方向为已知函数，a≥0，b≤0，a²+b²≠0

3° 解的惟一性定理 如果抛物型方程Lu=f的混合问题的解存在,那末它是惟一的.如果柯西问题存在有界的解，那末在有界函数类中，解是惟一的.

[波动方程的能量积分与解的惟一性定理]

1° 波动方程的柯西问题与混合问题 设波动方程为

柯西问题的初值条件是

如果在有界区域Q:D×(0,T]中考虑波动方程，记的侧边界为Γ，则混合问题的定解条件是

(i) 第一边值问题

(ii) 第二边值问题

(iii) 第三边值问题

式中N为Γ 的外法线方向，φ(x),ψ(x)为D上的已知函数，(,t)及(,t) (∈Γ,0≤t≤T)为定义在Γ上的已知函数，(,t)≠0.

2° 解的惟一性定理 波动方程的混合问题与柯西问题的解如果存在必定惟一.

惟一性定理可用下面能量积分证明.

3° 能量积分 积分

*

称为波动方程的能量积分.

满足齐次波动方程及u|_Γ=0（或）的函数u(x,t)成立：

能量守恒原理 E(t)=E(0).

能量不等式

式中

满足齐次波动方程及的函数，在上面能量不等式E(t)中增加一项，上面关系仍成立.

对于柯西问题,在特征锥

（R为大于零的常数）

中考虑齐次波动方程的解u,记特征锥与t=t₀的截面为，关于能量积分

成立下面的能量不等式

式中

π_t是 t=常数的超平面与以为上底所作的柱体（母线平行于Ot轴）的交截面.

三、 三种典型方程

1. 波动方程

研究下面形式的波动方程

式中f(x,y,z,t)为已知函数.

许多物体的运动规律可用波动方程来描述.如弦振动可用一维波动方程描述；膜的振动可用二维波动方程描述；声波和电磁波的振荡可用三维波动方程描述.

[齐次方程柯西问题的解] 设齐次波动方程的柯西问题满足下面初始条件：

并设三次连续可微，二次连续可微，那末解u的表达式分别为

1° 三维（克希霍夫公式）

式中S_at表示球面：，dS表示球面的面积元素.

2° 二维（泊松公式）

式中K_at表示圆： .

3° 一维（达兰贝尔公式）

利用降维法可从高维的解推得低维的解.

[非齐次方程柯西问题的解] 非齐次波动方程柯西问题的解等于上面齐次方程柯西问题的解添加一项所谓推迟势 .

1° 三维

式中积分区域是以(x,y,z)为中心，at为半径的球体,

2° 二维

式中 .

一维

[解的物理意义] 波动方程解的表达式具有明确的物理意义.

1° 波的传播 以弦振动为例，在达兰贝尔公式中，形如(x-at)的解描写了弦振动以常速度a向右传播，称(x-at)为右传播波，(x+at)为左传播波，a为波速.

2° 依赖区间 过点P(x,t)作两条特征线x=c₁，x+at=c₂交x轴于x₁，x₂，则区间[x₁,x₂]称为点P的依赖区间，由达兰贝尔公式可见解在P点的值只与[x₁,x₂]上初始条件有关，而与区间外(x)，(x)的值无关.

3° 决定区域 过x轴上两点x₁，x₂(x₁<x₂)分别作特征线

x=x₁+at，x=x₂

则三角形区域 x₁+at≤x≤x₂ (t>0)

称为[x₁,x₂]的决定区域(图14.4(a))，在区域中解的数值由[x₁,x₂]上的初始条件完全决定.任意改变初始条件在[x₁,x₂]外的数值，解在此区域中不会发生任何变化.

图14.4

4° 影响区域 过x轴上两点分别作特征线

x=x₁，x=x₂+at

称区域 x₁-at≤x≤x₂ (t>0)

为[x₁,x₂]的影响区域(图14.4(b)).在此区域中，解的数值受到[x₁,x₂]上初始条件的影响，而在此区域外，解的值不受[x₁,x₂]上的初始条件影响，当区域[x₁,x₂]缩为一点x₀时，点x₀的影响区域为x轴上区间(图14.4(c))

x₀≤x≤x₀+at (t>0)

对二维波动方程，点(x₀,y₀,t₀)的依赖区域为t=0上的圆.

(x－x₀)²+(y－y₀)²≤a²t₀²

在t=0上圆(x－x₀)²+(y－y₀)²≤a²t₀²的决定区域是以(x₀,y₀,t₀)为顶点的圆锥体区域(图14.5(a)).

(x－x₀)²+(y－y₀)²≤a²(t－t₀)² (t≤t₀)

初始平面t=0上一点(x₀,y₀,0)的影响区域为圆锥体(图14.5(b)).

(x－x₀)²+(y－y₀)²≤a²t² (t>0) (1)

初始平面t=0上某一区域的影响区域，就是由此区域上每一点所作的圆锥体(1)的包络面所围成的区域.

图14.5

对三维波动方程，点(x₀,y₀,z₀,t₀)的依赖区域为t=0上的球面

(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²=a²t₀²

初始平面t=0上的球体

(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²≤a²t₀²

的决定区域是以它为底，以(x₀,y₀,z₀,t₀)为顶点的圆锥体区域

(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²≤a²(t－t₀)² (t≤t₀)

在初始平面t=0上点(x₀,y₀,z₀,0)的影响区域为锥面

(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²=a²t² (t>0) (2)

初始平面上某一区域的影响区域就是它上面的每一点所作的锥面(2)的包络面围成的区域.

二维与三维波的传播存在着下述本质区别.

5° 惠更斯原理 对三维波动方程，点(x₀,y₀,z₀,0)的影响区域为

(x－x₀)²+(y－y₀)²+(z－z₀)²≤a²t² (t>0)

若在某一有界区域Ω有一个初始扰动，在时刻t受到此初始扰动的影响区域就是所有以点为中心，以at为半径的球面全体，当t足够大时，这种球面族有内外包络面，称外包络面为传播波的前阵面，内包络面为后阵面.前阵面以外的部分表示扰动尚未传到的区域，后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域，前后阵面之间的区域就是受到扰动影响的部分，在三维，波的传播有清晰的前阵面与后阵面，称为惠更斯原理或称无后效现象.

6° 波的弥散 对二维波动方程，点(x₀,y₀)的影响区域为

(x－x₀)²+(y－y₀)²≤a²t²

若在有界区域Ω内有一个初始扰动，则波的传播只有前阵面而无后阵面，所以当Ω的初始扰动传到某点后，扰动对此点的影响不会消失，不过随时间的增加而逐渐减弱.这种现象称为波的弥散，或说波具有后效现象.

2. 热传导方程

热传导方程的一般形式为

式中f(x,t)为连续有界函数.

热传导方程是描述热的传导过程，分子的扩散过程等物理规律的.

对于n维热传导方程的柯西问题的初值条件为

式中为连续有界函数，方程的解的表达式为

3. 拉普拉斯方程

研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程，通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程

Δu=0

及泊松方程

Δu=ρ

式中ρ为已知函数，Δ为拉普拉斯算子，

[圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分] 当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,)或球坐标(r,θ,)较为方便.

Δu=0的极坐标形式为

Δu=0的球坐标形式为

狄利克莱问题解的泊松积分为

1° 区域是圆时，Δu=0, u|_r=a=()，解为泊松积分

式中()为已知连续函数，()=(+2).

2° 区域是球时，Δu=0, u|_r=a=()，解为泊松积分

式中()为已知连续函数，

[调和函数的性质] 二维拉普拉斯方程的连续解称为调和函数，它具有以下重要性质：

1° 设函数u(x,y)在以S为边界的有界区域D内调和，在上有连续一阶偏导数，则

式中为外法向导数.

2° 算术平均值定理 设函数u(x,y)在圆的内部调和，在闭圆上连续，则u(x,y)在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值.

3° 每一个调和函数u(x,y)对x,y无穷次可微.

4° 哈拉克第一定理（一致收敛定理） 设{u_k(x,y)}, (k=1,2)在有界区域D内调和，在上连续，如果u_k(x,y)在D的边界上一致收敛，则在D内也一致收敛，并且极限函数在D内调和.

5° 哈拉克第二定理（单调性定理） 设调和函数列{u_k(x,y)}, (k=1,2,…)在D的某一内点收敛，且对于任意k，

u_k+1(x,y)≥u_k(x,y)

则u_k(x,y) 在D内处处收敛于某调和函数，同时在D的每一有界闭子区域上一致收敛.

6° 刘维尔定理 如函数u(x,y)在全平面上调和且不是常数，则它不可能有上界和下界.

7° 可去奇点定理 设u(x,y)在A点的一个邻域（除A点外）调和且有界，但在A点没有定义，则可定义函数u(x,y)在A点的值，使u在整个A点的邻域（包括A点）内是调和函数.

[李雅普诺夫闭曲面与内、外边值问题] 设S为Eⁿ的有限闭曲面，如果满足下列条件，那末S称为李雅普诺夫闭曲面：

(i) 曲面到处有切面.

(ii) 存在常数d>0，对曲面上每一点P，可作一个以P为中心、d为半径的球，使曲面在此球内的部分和任意一条与P点法线平行的直线相交不多于一点

(iii) 曲面上任意二点P₁及P₂的法线的夹角γ(P₁,P₂)满足

式中A,δ为正常数，0<δ≤1，是点P₁与P₂之间的距离.

(iv) 从空间任意一点P₀看曲面的任一部分σ的立体角有界，即

||≤k （k为常数）

（从点P₀看曲面S的立体角为

式中表示矢量 ，N_P表示S在点P的外法线矢量，dS_P表示点P的面积元素.）

设D为Eⁿ的有界区域，其边界S为李雅普诺夫闭曲面.求在D内满足

Δu=0

而在S 上满足给定边界条件的解称为内边值问题；求在D外满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为外边值问题.

[狄利克莱问题与诺伊曼问题的解]

狄利克莱问题 Δu=0，

诺伊曼问题 Δu=0，

式中M_S∈S，为S上的已知连续函数，为外法向导数.

1° 狄利克莱问题的解可表示为面积分

.

式中v(P)称为面密度，面积分u(M)称为双层位势，r_PM为点M与变点P之间的距离，r_PM为矢量 ，N_P为S在点P的外法线矢量，v(M)满足第二类弗雷德霍姆积分方程(第十五章§1)：

(i) 内边值问题

(ii) 外边值问题

2° 诺伊曼问题的解可表示为面积分

式中(P)称为面密度，面积分u(M)称为单层位势，(P)满足第二类弗雷德霍姆积分方程：

(i) 内边值问题

(ii) 外边值问题

定理： 狄利克莱的内外边值问题及诺伊曼的外边值问题有惟一解，而诺伊曼的内边值问题解存在的充分必要条件是：

[泊松方程] 在区域D内，泊松方程Δu=ρ（ρ为已知连续函数）有特解：

三维： 体势位

二维： 对数势位

式中r_PM为点M与变点P之间的距离.

如果已知泊松方程的一个特解U(M)，则=u－U满足Δ=0，从而泊松方程的边值问题可化为拉普拉斯方程相应的边值问题.

四、 基本解与广义解

[共轭微分算子与自共轭微分算子] 算子

称为二阶线性微分算子，式中a_ij,b_i,c为x₁,x₂,…,x_n的二次连续可微函数.由公式

决定的算子L*称为L的共轭微分算子.如果L=L*，则称L为自共轭微分算子.

[格林公式]

1° 算子L的格林公式是

式中S为区域D的边界，N为S的外法线矢量，e_i为x_i的轴的矢量

(0,…,0,,0,…,0),

cos(N,e_i)表示矢量N与e_i的夹角的余弦，

2° 三维拉普拉斯算子的格林公式

其中是外法向导数.

3° 算子

的格林公式

式中L*为L的共轭微分算子，N为外法线矢量，i,j分别为x轴，y轴上的单位矢量.

[基本解]

1° 方程Lu=f的基本解：

设M,M₀为Eⁿ中的点，满足方程

的解U(M,M₀)称为方程Lu=f的基本解，有时也称为方程Lu=0的基本解，式中(M-M₀)称为n维狄拉克函数（-函数）.

基本解U(M,M₀)满足

(i) LU(M,M₀)=0，当M≠M_0，

(ii) 对任意充分光滑的函数f(M)，

于是U(M,M₀)满足Lu=f(M) .

所以有时也就把满足条件(i)、(ii)的函数U(M,M₀)定义为方程Lu=f(M)的基本解.

(a) Δu=0的基本解

二维：

三维：

n维：

式中表示点M与M₀之间的距离.

(b) n维空间的多重调和方程^mu=0的基本解

(c) 热传导方程的基本解

(d) 波动方程的基本解

一维：

二维：

三维：

2° 柯西问题的基本解

(i) 称满足

的解为波动方程柯西问题的基本解，它的形式为

一维：

二维：

三维：

(ii) 称满足

的解为热传导方程柯西问题的基本解，它的形式是

同样方法可以定义其他定解问题的基本解.

由定义可见，基本解表示由集中量（如点热源，点电荷等）所产生的解，下段介绍的格林函数，黎曼函数也具有这种特点，统称它们为点源函数，或影响函数.

[广义解] 在区域D中给定二阶线性方程

式中f在D上连续.

1° 设u_n(x)为D上充分光滑（如二阶连续可微）的函数序列，当n→∞时，u_n(x)一致（或在适当意义下）收敛于函数u(x)，同时Lu_n也一致（或在适当意义下）收敛于f(x)，则称u(x)为Lu=f的广义解.

2° 设函数u(x)在区域D内连续，如果对于任意二次连续可微且在与D的边界距离小于某一正数的点上恒等于零的函数（与无关，称为D的试验函数）有

那末称u(x)为方程Lu=f的广义解.

有时为了区别广义解，称以前定义的解为古典解，古典解一定是广义解.但因广义解不一定光滑，甚至不可微，所以不一定是古典解.

例如，当(x)，(x)只是x的连续函数时，函数

u(x,t)=(x+t)－(x－t)

为波动方程

的广义解，但不是古典解.

五、 二阶偏微分方程的常用解法

1. 分离变量法

它是解线性微分方程常用的一种方法，特别当区域是矩形、柱体、球体时使用更为普遍.这种方法是先求满足边界条件的特解，利用迭加原理，作这些特解的线性组合，得到定解问题的解.求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数.以下对不同类型方程说明分离变量法的具体解法.

[弦振动方程]

1° 两端固定的弦振动齐次方程混合问题

设u(x,t)=X(x)T(t)，具体解法如下：

(1) X(x)，T(t)满足的常微分方程：

(2) 用此二常微分方程的解的乘积表示弦振动方程的特解u_n(x,t).

解边值问题

当

时，有非零解

称λ_n为边值问题的特征值，X_n(x)为特征函数.把λ_n代入T(t)的方程，得

式中A_n,B_n为任意常数，这样就得到弦振动方程的特解：

(3) 把u_n(x,t)迭加，形式上作级数

(4) 利用特征函数的正交性，确定系数A_n,B_n.

把(x)及(x)展开成傅立叶级数

式中

利用初始条件可得

于是混合问题的形式解为

若(i) (x)具有一阶和二阶连续导数，三阶导数逐段连续，且(0)=(l)，"(0)="(l)=0;(ii)(x)连续可微，二阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，那末形式解右端的级数一致收敛，形式解就是混合问题的正规解.

2° 解的物理意义

弦的这种形式的振动称为驻波，点 (m=0,1n) 为不动的点，称为节点；点 (m=0,1,2n－1)处振幅最大，称为腹点；称为弦振动的固有频率；弦线发出的最低音的频率为 （τ为张力，ρ为弦的线密度）称为该弦的基音，其他频率都是它的整数倍，称为泛音.

3° 非齐次方程的混合问题

将u(x,t)和f(x,t)展开成傅立叶级数：

那末根据定解条件再利用1°中(x)与(x)的傅立叶展开式，有

所以

形式解为

若(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(x)和f(x,t)连续可微，二阶导数逐段连续，同时

(0)=(l)="(0)="(l)=0

(0)=(l)=f(0,t)=f(l,t)=0

则级数一致收敛，形式解就是非齐次方程混合问题的正规解.

4° 遇到非齐次边界条件

作变换

可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解.

[热传导方程] 热传导方程的第一边值问题

设u(x,t)=X(x)T(t)，得

X"(x)+²X(x)=0

T'(t)+a²²T(t)=0

特征值，对应的特征函数为，而

作形式解

式中c_n等于(x)的傅立叶系数即.

当(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，则上述级数一致收敛，形式解就是正规解了.

[拉普拉斯方程] 球内定常温度分布的狄利克莱问题—拉普拉斯方程的狄利克莱问题.

选用球坐标

令u(r, ,)=v(r,)().代入方程，分离变量得

"()+k²()=0 (1)

(2)

利用对于变量的周期性，u(r, , )=u(r, , +2)，可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1)，那末()取{cosm,sinm}.再将方程(2)分离变量，令v=R(r)H()，得

(3)

(4)

方程(4)的解可用勒让德多项式表示，为了使解有界，λ只能取

λ_n²=n(n+1) (n=0,1,2,…)

对应的解H()=P_n^(m)(cos)，，P_n(x)为勒让德多项式

方程(3)可写成

这是欧拉方程，其有界解为R(r)=c₁rⁿ.最后将u的特解迭加，利用边界条件和球函数的正交性得

式中P_n^(m)(cos)为一般勒让德函数.

如果二次连续可微，则表示的级数一致收敛，它就是狄利克莱问题的解.

[高阶方程] 梁的横向振动方程为

（a为常数） (1)

定解条件为

设y(x,t)=X(x)T(t)，那末

方程(2)满足X"(0)=X"(l)=0的特征值，特征函数 (n=1,2)，方程(3)的解为

所以方程(1)的形式解为

由y(x,0)=x(l－x)得

最后得到方程(1)的解.

2. 双曲型方程的黎曼方法

考虑拉普拉斯双曲型方程

[古沙问题的特征线法] 古沙问题是

设a(x,y),b(x,y),c(x,y),f(x,y)为连续函数；连续可微且，令

则古沙问题化为下面积分方程组的求解问题

图14.6

它可用逐次逼近法求解，显然x=x₀,y=y₀为拉普拉斯双曲型方程的特征线，所以此法也称为特征线法.

[广义柯西问题的黎曼方法] 广义柯西问题是

设a(x,y),b(x,y),c(x,y), ₁(x)及(x)为连续可微函数，且'(x)≠0，而f(x,y)及₂(x)为连续函数.

设M(x₀,y₀)不是y=(x)上的点，过点M作特征线x=x₀,y=y₀交y=(x)于P及Q，记曲边三角形PMQ为D（图14.6），在D上用格林公式（本节，四）得

设v(x,y;x₀,y₀)为下面古沙问题的解：

那末广义柯西问题解的黎曼公式为

式中v(x,y;x₀,y₀)称为黎曼函数，这个方法称为黎曼方法.

一般可用特征线法求黎曼函数.但对常系数偏微分方程

（c为常数）

也可用下法求黎曼函数.设v=v(z)，，则方程化为贝塞耳方程

黎曼函数就是满足此贝塞耳方程及条件v(0)=1的零阶贝塞耳函数，

对常系数的拉普拉斯双曲型方程通过变换可化为

的形式，它的黎曼函数就是上式.

3. 椭圆型方程的格林方法

在区域D考虑椭圆型方程

式中a_ij,b_i,c,f为x₁,…,x_n的连续可微函数，a_ij=a_ji，二次型是正定的.

[格林函数及其性质] 若Lu=0的共轭方程L*u=0的基本解G(x,)在D的边界S上满足

G(x,)=0, x∈S

则称G(x,)为方程Lu=0的格林函数，式中x=(x₁,…,x_n)，ξ为参变点，=(₁,…,_n)，即G(x,)=G(x₁,…,x_n;₁,…,_n).

格林函数具有对称性质：设G(x,),V(x,)分别为方程Lu=0及其共轭方程的格林函数，则成立对称关系

G(x,)=V(x,)

特别如果Lu为自共轭微分算子，则有

G(x,)=G(,x)

[利用格林函数解边值问题]

1° 一般公式 在区域D上应用格林公式（本节，四），并取v=G(x,)，则方程Lu=f的狄利克莱问题u|_s=的解为

式中

（N是S的外法线方向）

2° 对于球体（球心为O，半径为a），u=0的基本解为，r为P(x,y,z)与参变点M(,,)的距离，作M关于球面的反演点M₁，记r₁为M₁与P的距离，则格林函数为

.狄利克莱问题u|_s=的解为

式中S为球面.引用球坐标时，解为泊松积分(本节，三，3).

3° 在圆上（半径为a），u=0的格林函数为

式中r为P(x,y)与参变点M(,)的距离，r₁为P与M点关于圆的反演点M₁的距离，圆上狄利克莱问题的解为泊松积分.

4. 积分变换法

积分变换法是解线性微分方程，特别是常系数方程的一种有效方法，它是把方程的某一独立变量看成参变量，作未知函数的积分变换，这样可减少原方程独立变量的个数而将方程化为简单形式（最简单的情况是常微分方程，甚至是代数方程）.解此简化方程的对应定解问题并通过逆积分变换就得到原定解问题的解.下面举例说明傅立叶变换和拉普拉斯变换方法.

例1 用傅立叶变换法解弦振动方程的柯西问题

解 把t作为参变量，作u(x,t)关于x的傅立叶变换

F

原来的柯西问题化为下面的定解问题

把p看作参数，其解为

由傅立叶变换的反演公式得到原问题的解

例2 用拉普拉斯变换法解热传导方程的定解问题

解 把x当作参变量，作u(x,t)关于t的拉普拉斯变换

L

原问题化为

通解为

要求解有界.c₂必须为零，所以，

查拉普拉斯变换表（第十一章）得

式中erfc(y)为余误差函数.

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* 是的简写,下同.