§2 奇异积分方程
一、奇异积分方程的定义与例子
1° 如果积分方程的积分是积分区间为无限（或核K(x,ξ)为无界函数）的广义积分，那末称该方程为奇异积分方程，例如
(1)
(2)
和
(3)
都是奇异积分方程。
2° 方程（1）的右边所定义的函数可以看作y(x)的傅立叶正弦变换。若当x>0时，F(x)逐段可微且
存在，则方程（1）有唯一的反演公式：
（x>0）
考虑齐次积分方程
(4)
从已知的公式
(x>0,α>0)
可知
确实是特征值。当
时，对任意正常数α，函数
(x>0)
满足方程（4）；而当
时，对任意正常数α，函数
(x>0)
也满足方程（4）。于是这两个λ值是无穷重的特征值，即每个值对应无穷多个特征函数。这个事实与Fr方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。
3° 由方程（2）右边所定义的函数F（x）是函数y（x）的拉普拉斯变换。因为不是一切函数都能作拉普拉斯变换，两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。所以对一个给定函数F(x)，若（2）存在一个解，则解是唯一的。
考虑齐次积分方程
（x>0）
（5）
根据伽马函数的定义有
以
代替a，得
由上面两等式推出
如果令
那末上式表明，函数
（x>0）
是积分方程（5）的解。
因此，对参数a的任一值，有一个λ值对应，并且决定了方程（5）的一个非平凡解。
利用恒等式
有
由此推出，在区间
内的一切λ值都是奇异积分方程（5）的特征值。
还能证明在区间
内的一切λ值也是奇异积分方程（5）的特征值。
积分方程（3）的积分区间是有限的，但是核是无界函数，这种奇异积分方程将在本节二和§3中考虑。
二、具有柯西核和希尔伯特核的积分方程
[柯西核与希尔伯特核]
定理 设L是任一光滑闭曲线，
是定义在L 上且满足具有指数a
的李普希茨条件*的一个函数，当z从L的内部趋于L上任一点t时，则柯西型积分
（1）
趋于极限值
当z从L的外部趋于L上任一点t时，积分（1）趋于相应的极限值
上面两个等式中的积分都是广义积分
表达式
称为柯西核，式中ζ和t是L上的任意两点。
表达式
称为希尔伯特核，式中s和σ都是实变量，并在闭区间
内变动。
柯西核和希尔伯特核之间有很简单的关系。设L是一简单闭曲线，它是有连续曲率的一条光滑曲线。设L的参数方程是
，
设相应的参数s在闭区间内变动。令t=x+iy和t=x(s)+iy(s)。L的方程可写作t=t(s)。设ζ是L上任一点，则有一参数值σ，使
。于是不难证明：
式中P(s,σ)是两个变量s 和σ的连续函数，这函数满足具有某指数的李普希茨条件。
[具有希尔伯特核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程:
(2)
式中a和b是常数。
假定核K(s,σ)和自由项F（s）都满足李普希茨条件。
如果K(s,σ)≡0，则所考虑的方程是
(3)
若a2+b2≠0,则这个方程的解是
(4)
若a2+b2=0,则方程一般没有解。
注意特殊情况a=0.不防设b=1,则（3）变为第一类Fr方程
这时，（4）式的解没有用，但方程（3）有解的充分必要条件是:
解的形式是
式中C是任意常数。
在一般情形下，可以证明方程（2）与一般形式的Fr方程等价，于是所考虑的方程归结到解Fr方程。
具有希尔伯特核的奇异积分方程的一般形式是
式中a(s)和b(s)是变量s的函数。若a(s)和b(s)满足李普希茨条件，上式可化为Fr方程，但是二者可能不等价。
[具有柯西核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程：
（5）
式中a和b是常数，L是闭曲线。
若a2-b2≠0,则（5）的解为
具有柯西核的奇异积分方程的一般形式是
它也可化为Fr方程。若a和b是常数，则得到的Fr方程与上面方程等价。在一般情形下需加补充说明。