§2 插值公式
一、
不等距节点插值公式(差商插值多项式)
已知单变量函数f(x)的n+1个节点
及其对应的函数值
对于插值区间
上任一点x,函数值f(x)可按下面的差商插值多项式计算:
式中
分别为
的一阶差商，二阶差商，...，n阶差商。可按下列程序从左到右逐列进行计算∶
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一阶差商 |
二阶差商 |
三阶差商 |
… |
n阶差商 |
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… |
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表中一阶差商
二阶差商
三阶差商
……………………………………
n阶差商
差商插值多项式中的余项
余项也可以写成
式中
表示
的n+1阶差商。对于由测量给出函数的某些值或分析式子比较复杂的函数用这种余项较为方便。
差商插值多项式显然满足
具体插值计算步骤如下：
首先由
按差商表计算出各阶差商，然后对给定的插值区间内一点a，算出
，
则
二、
等距节点插值公式(差分公式)
[向前差分与向后差分]
已知函数f(x)在等距节点
的值为
其差分按下式计算
一阶差分
二阶差分
…………………………
k阶差分 
符号
称为向前差分。此外还可引进符号
，它们的定义是
符号称为向后差分。
向前差分和向后差分之间的关系为
[差分表]
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x |
y |
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B
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[牛顿第一插值公式(牛顿向前插值公式)]
节 点 
为步长）
插 值 点 
（0<u<1）
插值公式 
余 项 
式中
为二项系数。
适用范围 通常用于计算插值区间的始点
附近的函数值。
[牛顿第二插值公式(牛顿向后插值公式)]
节
点
(h>0)
插 值 点 
插值公式 
余
项
式中
用向后差分时
适用范围 通常用于计算插值区间的终点
附近的函数值。
[斯特林插值公式]
节
点
插 值 点
插值公式 
余
项
适用范围
通常用于计算插值区间中点附近的函数值。一般当
时用这个公式。
注意事项 每次用的节点的个数都是奇数。
[贝塞尔插值公式]
节 点
插 值 点
插值公式 
余 项
适用范围 通常用于计算两相邻节点之间的中点附近的函数值。这个公式一般在
时使用。
注意事项 每次用的节点的个数都是偶数。
当
时，插值公式特别简单:
说明 应用差分法插值时，并非项数愈多结果就愈精确，一般取二、三次就可以了。不难看出，线性插值法只是差分法的一个特例(取一阶差分)。
三、拉格朗日插值多项式
[拉格朗日插值公式] 已知单变量函数
的n+1个节点及其对应的函数值
，对于插值区间内任一点x，可用下面拉格朗日插值多项式
计算函数值∶
这里 
特别对于等距节点，有
式中
[埃特金逐步计算法]
已知
，求插值区间内任一点a的拉格朗日多项式的数值
，可按下表从左到右逐列进行计算。
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… |
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… |
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表中
表示用
作节点的一次插值多项式；
表示节点为
的一次插值多项式；一般
表示节点为
的k次插值多项式。表中左起第四列以后的各列都是对应的插值多项式在a点的数值，它们之间有下面的关系:
………………………………………………………
利用拉格朗日插值多项式计算某一点a的数值时每增加一个节点，必须按公式重新计算，而埃特金逐步计算法避免了这个缺点。
四 三次样条(Spline)内插公式
样条函数是逼近函数的一种方法。
[三次样条函数] 已知平面上的n个点
，这些点称为型值点，其中
称为节点。
如果函数S(x)满足以下三个条件:
(i)
;
(ii)S(x)在每个区间
上是一个三次多项式；
(iii)S(x)在整个区间
上有连续的一阶及二阶导数；
则称S(x)为过n个点的三次样条函数。
如果函数S(x)满足下面的任一边界条件(在
两端点处附加的条件)，那末三次样条函数S(x)存在而且唯一∶
(a)
函数在区间两端点的一阶导数(单边导数)已知，即
和
为已知数。
(b)
函数在区间两端点的二阶导数为零，即
。
(c)
函数为周期的，且满足
。
[三次样条函数的表达形式]
以二阶导数为参数的形式 S(x)在每个区间
上表为
式中
为待定参数，而
是
的一阶差商，
是
的一阶差商，即
这样定义的函数S(x)在区间上满足条件(i)，(ii)。如果选择使得S(x)在上有一阶连续导数，那末S(x)在上就有二阶连续导数，而且
利用S(x)一阶导数的连续性及边界条件可以给出确定的代数方程组。
(1) 边界条件为(a)的情况
在条件(a)下，由下面方程组解出
式中
为一阶差商(同前)，和为给定的边界条件。
用矩阵表示就是
式中
当
时，解出为
(2) 边界条件为(b)的情况
在条件(b)下，
由下面方程组解出：
用矩阵表示就是
式中
当
时，解出为
以一阶导数为参数的形式S(x)在每个区间上表为
式中
是待定参数。这样定义的函数S(x)在区间上满足三次样条函数的条件(i)和(ii)，而且S(x)在上有连续的一阶导数，同时
有时表成下式∶
式中
,而与定义同前。
根据
在
上有连续二阶导数及边界条件可以给出确定
的代数方程组。
(1)
边界条件为
的情况
在条件下，
满足下面方程组
记 
，得
它可以改写为
其中
由此得
(2)边界条件为(b)的情况
在条件(b)下，满足下面方程组
式中 为的一阶差商。
当
且
时,
其中
，而
由下述公式递归求得
(3)边界条件为(c)的情况
在条件(c)下，满足下面方程组:
五、其他插值公式
[一元三点插值公式] 已知单变量函数y=f(x)在n个节点
上的值
，对于插值区间内任一点x,可按下面公式近似计算函数值
式中
为最靠近x的三个已知节点。
[二元插值公式] 已知双变量函数
的第一个自变量的节点为
，第二个自变量的节点为
,其对应节点上的函数值为
。那末对于不是节点的变元值
，可按下面公式近似计算函数值
(1)
(2)
(2)中
是第一个变元最靠近x的三个节点，
是第二个变元最靠近y的三个节点。
[带导数的埃尔米特插值公式] 已知函数y=f(x)及其导数
在n个节点
上的值为
及
，那末对于插值区间内任一点x，可按下式计算函数值
式中
余项
其中
是包含全体节点的某区间[a,b]内的一点。
易知，式中的
是次数不超过
且满足
,
的多项式。