第三章 代 数 方 程

 

代数方程的理论有下列几个主要问题:

   (1) 根式解问题;

        (2) 根的分布及近似计算;

        (3) 根的存在问题;

(4) 根的性质的研究.

本章着重介绍(1)和(2)两个问题,对于(3)和(4)两个问题仅作简略的叙述.

根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来,这里具体列出了实数域上二、三、四次方程根的表达式,并且指出根与系数之间的相互关系,还叙述了阿贝耳定理,即五次以及更高次的代数方程没有一般的根式解.本章介绍了代数方程的性质,其中提到关于根的存在问题的重要的“代数基本定理”;并且叙述了伽罗瓦所指出的,存在用代数方法不能解的具体方程;也介绍了代数方程的某些特殊解法与对称多项式的基本定理;给出了根的隔离的各种判别法.最后介绍了方程实根的近似计算的多种方法,并对秦九韶法作了详细说明.

 

§1   二、三、四次方程的根的表达式

 

1. 基本概念

[数域如果一个数系满足下列两个条件,则称这个数系为一个数域:

(i) 系中有不等于零的数;

(ii) 对系内任意两个数(这两个数也可相同)的和、差、积、商(零不能作除数)仍为系内的数,这就是说,系内的数对于四则运算是封闭的.

       例如,有理数系、实数系、复数系都是数域.

       [多项式的根形如

f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+L+an-1x+an=0

的方程称为在一个数域S上的一个未知数的n次代数方程,f(x)称为一元n次多项式,式中n为正整数,a0,a1,a2,Lan-1,an是属于数域S的常数,称为方程的系数,最高次项系数a0简称为首项系数.

       c是一个常数,使f(c)=0,则称c为多项式f(x)或方程f(x)=0的根.本节先考虑在实数域上的二、三、四次方程.

       2. 二次方程

二次方程根的表达式及根与系数的相互关系

方程

ax2+bx+c=0

x2+px+q=0

根的表达式

x1,2=

x1,2=

根与系数的关系

 

 

判别式

=b24ac

>0 有两个不等的实根

=0 有两个相等的实根

<0 有两个复根

=p24q

>0 有两个不等的实根

=0 有两个相等的实根

<0 有两个复根

       3.三次方程

       [x31=0]  方程                   x31=0

的三个根为   x1=1,  x2=ω=x3=ω2=   (i2=1)    (1)

       [x3+px+q=0(卡尔丹公式)]   方程

x3+px+q=0

的三个根为

           x1=   

           x2=ω ω2     (2) 

           x3=ω2 ω

式中ω,ω2(1).这叫做卡尔丹公式.

       根与系数的关系为

x1+x2+x3=0,  ,   x1x2x3=q

       判别式为

=

>0时,有一个实根和两个复根;=0时,有三个实根,当p=q=0时,有一个三重零根;当时,三个实根中有两个相等;<0时,有三个不等的实根.

       三个根的三角函数表达式(仅当p<0时)为

                          x1=2 cosθ

                          x2=2 cos(θ+120°)

                          x3=2 cos(θ+240°)

式中

r=,    θ=arc cos

       [ax3+bx2+cx+d=0]  一般三次方程

ax3+bx2+cx+d=0        

上式除以a,并设

x=y

则化为如下的形式

y3+py+q=0

可按(2)的情形处理,解出y1y2y3则一般三次方程的三个根为

x1=y1   x2=y2 x3=y3

三个根与系数的关系为

x1+x2+x3=,   x1x2x3=

       4.四次方程

       [ax4+cx2+e=0]  方程

ax4+cx2+e=0

中,设y=x2,则化为二次方程

ay2+cy+e=0

可解出四个根为

                                   x1,2,3,4=

[ax4+bx3+cx2+bx+a=0]  方程

ax4+bx3+cx2+bx+a=0

中,设y=x+,则化为二次方程,可解出四个根为

x1,2,3,4=y=

[x4+bx3+cx2+dx+e=0] 一般四次方程

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

都可化为首项系数为1的四次方程,而方程

x4+bx3+cx2+dx+e=0

的四个根与下面两个方程的四个根完全相同:

x2+(b+)(y+)=0

x2+(b)(y)=0

式中y是三次方程

8y3-4cy2+(2bd-8e)y+e(4c-b2)-d2=0

的任一实根.

       5.阿贝耳定理

       五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法(即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法).这是阿贝耳定理.