第四章    矩阵 · 行列式 · 线性方程组

 

本章内容包括矩阵行列式与线性代数方程组两部分.

在前一部分,叙述了矩阵和行列式的基本概念,重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算,此外,还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法,及有关的内容,如相似变换等;在线性方程组部分,着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法,也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.

                                      

                      §1  矩阵与行列式

 

一、矩阵及其秩

 

       [矩阵与方阵数域(第三章,§ 1F上的m×n个数aij (i=1,2,,m;j=1,2,,n)按确定的位置排成的矩形阵列,称为m×n矩阵.记作

A=

其中横的一排叫做行,竖的一排叫做列,aij称为矩阵的第i行第j列的元素,矩阵A简记为(aij)(aij)m´n.

n×n矩阵也称为n阶方阵,a11a12,…,ann称为矩阵A的主对角线的元素.

行数m与列数n都是有限的矩阵,称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.

[矢量的线性相关与线性无关]对于n维空间的一组矢量x1x2,…,xm,若数域F中有一组不全为零的数ki (i=12,…,m),使

k1x1+k2x2++kmxm=0

成立,则称这组矢量在F上线性相关,否则称这组矢量在F上线性无关.

矢量组的线性相关性的讨论:

1°  矢量组x1x2,…,xm线性相关的充分必要条件是:其中至少有一个矢量xi可用其他矢量的线性组合来表示,即

2°  包含零矢量的矢量组一定线性相关.

3°  矢量组x1x2,…,xm中,若有两个矢量相等:xi=xj(ij),则该矢量组线性相关.

4°  若矢量组x1x2,…,xr线性相关,则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关;若矢量组x1x2,…,xm线性无关,则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.

5°  x1x2,…,xr线性无关,而x1x2,…,xr+1线性相关,则xr+1可以表示为x1x2,…,xr的线性组合.

[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩由矩阵任一行的元素构成的n维矢量称为行矢量,记为

ai=(ai1,ai2,...,ain)        (i=1,2,...,m)

由矩阵任一列的元素构成的m维矢量称为列矢量,记为

         (j=1,2,...,n)

式中t表示转置,即行(列)转换为列(行).

若矩阵An个列矢量中有r个线性无关(rn),而所有个数大于r的列矢量组都线性相关,则称数r为矩阵A的列秩.类似可定义矩阵A的行秩.

矩阵A的列秩与行秩一定相等,它也称为矩阵的秩,记作rank A=r.

矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式(见本节,二)的最大阶数.

 

二、行列式

 

    1. 行列式及其拉普拉斯展开定理

    [n阶行列式

是由排成n阶方阵形式的n2个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数,其值为n!项之和

式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列,Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和,那末数D称为n阶方阵相应的行列式.例如,四阶行列式是4!个形为的项的和,而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为

(1)3.

    n阶方阵A=aij,A相应的行列式D记作

D=|A|=detA=det(aij)

       若矩阵A相应的行列式D=0,称A为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵.

       [标号集序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足

1i1<i2<...<ikn                                                            (1)

i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列,{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集(参见第二十一章,§1,二),C(n,k)的元素记作σ,τ,..., σ∈C(n,k)表示

σ={i1,i2,...,ik}

{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk.

       [子式 · 主子式 · 余子式 ·代数余子式]

       n阶行列式D中任取k行与k列(1kn1,由这k行与k列交点处的元素构成的k阶行列式称为行列式Dk阶子式,记作

,     σ,τC(n,k)

       如果所选取的kk列分别是第i1,i2,...,ik行与第i1,i2,...,ik列,则所得到的k阶子式称为主子式.即当σ=τC(n,k)时,是主子式.

       从行列式D中划去k行(σ)与k列(τ)后得到的nk阶行列式称为子式的余子式,记作.

       如果σ={ i1,i2,...,ik}τ={ j1,j2,...,jk},则称

为子式的代数余子式.

       特别,当k=1时,σ={i}τ={j},子式就是一个元素aij, aij的余子式记作aij的代数余子式记作Aij,

且有                                                                                                    2

                                                                                              3

       [拉普拉斯展开定理n阶行列式D中任取k行(1kn-1,那末包含于所选定的这些行中的所有k阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D,即对任意σ∈C(n,k)1kn-1

                                                                                                          4

式中∑表示对标号集C(n,k)中的所有元素求和.

    拉普拉斯定理中是对行进行的,对列有类似结果

                                                                                                             5

此外还有

                                                                                    6

                                                                                          7

显然(2),(3)分别是(6),(7)的特例.

       [拉普拉斯恒等式A=(aij)m´n,B=(bij) m´n(mn),又设l=,A的所有n阶子式为U1U2...UlB的相应的n阶子式为V1,V2,...,Vl,

det(AτB)=

    2.行列式的性质

    1°  ïA1A2LAmï=ïA1ïïA2ïLïAmï

        ïAmï=ïAïm,    ïkAï=knïAï

式中A1A2LAm全为n阶方阵,k为任一复数.

    2°  行与列互换后,行列式的值不变,即

||=|A|

式中表示A的转置矩阵(见本章§2.

    3°  互换行列式的任意两行(或列),行列式变号.例如

=

    4°  用数α乘行列式的一行(或列),等于将行列式乘以数α.例如

=α

    5°  将行列式的一行(或列)元素乘以数α后加到另一行(或列)的相应元素上,行列式的值不变.例如

=

    6°  若行列式中有一行(或列)全为零,则行列式等于零.

    若行列式中有两行(或列)对应的元素完全相同或成比例,则行列式为零.

    若行列式中有一行(或列)元素是其他某些行(或列)对应元素的线性组合,则行列式为零.

    7°  若行列式中某一行(或列)的所有元素都可表示为两项之和,则该行列式可用两个同阶的行列式之和来表达.例如

=+

    3.几个特殊行列式

    [对角行列式]

=

[三角形行列式]

 

=

 

    [二阶行列式]

                        

 

    [三阶行列式]

 

=++


记忆方法

 

行列式的值,等于各实线上元素乘积之和减去各虚线上元素乘积之和.

 

    [四阶行列式]

=-+-

 

         =-+

         +-+

 

       注意,四阶和四阶以上的行列式不能采用三阶行列式那种记忆方法,应按拉普拉斯展开定理采用逐步降阶的方法展开.

       [范德蒙行列式]

=

式中Õ是对一切数对(i,j)(1£j<i£n)求积.

[倒数对称行列式]

=