§4 区域函数

 

一、区域函数与密度函数

 

       σ是空间Ω的区域,当变量u随区域σ的变化而变化时,称u是区域σ的函数,记作u=u(σ).把区域的度量(长度、面积或体积)仍记作σ,把σ无限细分,使包含M(区域中的一点)的小区域的度量0,如果u的改变量为Δu,并且极限

                    

存在,则称u(M)为区域函数u(σ)的密度,记作

                    

它是点M的函数,称为密度函数,它的微分形式是

                                                                            (1)

       例如,当σ是三维空间的曲面时,(M)就是曲面的面密度,当σ是三维空间的物体时,(M)就是体密度.实际上,(M)都是x,y,z的三变量函数.

 

二、密度函数的积分

 

       (1)得到

                    

由于积分区域的变化,这些积分又是各种形式的区域函数,例如

       [直线上的线密度与单积分]  σ=I=[a,b],则非均匀细杆的质量

             

式中为线密度.

       [平面上的面密度与二重积分设薄片的密度为x,y,则薄片质量为

                    

式中D表示薄片在平面上的区域.

       [体密度与三重积分设物体的密度为x,y,z,则物体的质量为

                    

式中V表示物体在空间中的区域.

       [线密度关于弧长元素的积分由于曲线段l的质量元素是

                    

所以曲线段的质量为

                    

       [曲面上的面密度与关于曲面元素的积分分布在曲面S上的质量为

                    

式中DSOxy平面上的投影区域,S的方程为z=f(x,y),x,yD.这种形式的积分称为函数(M)关于曲面元素dS的积分.

 

三、δ-函数的概念

 

       在讨论直线上有集中质量分布时,例如只在原点x=0处有集中质量m,而在其他各点都没有质量,这时,对直线上坐标不等于零的点,总可以取包含这个点的充分小的区间Δl,使Δl不包含点x=0,则区间Δl上的平均密度为零,所以在点x(0)的密度也是零;而在点x=0处,若Δl包含这个点,由于

               

当Δl0时,平均密度趋于无穷大.在包含点x=0的任何区间[a,b],质量总等于m,这时仍认为存在密度函数u(x),

                    

                    

特别,当m=1时,记这种密度函数为δx,

                     \

对包含点x=0的任何区间I,有

                 

称这个函数δx)为δ-函数(也称为狄拉克函数或脉冲函数).

       δ-函数具有一个重要性质: 对任一连续函数f(x),

             

这个性质表明,δ-函数虽然不符合古典的“一点对应一点”的函数定义,但它和任意连续函数的乘积在(-∞,∞)内的积分却有明确的定义.因此δ-函数在近代物理和工程技术中有着比较广泛的应用.