§9  空间曲线

 

一、        曲线的基本概念与公式

 

[曲线的方程与正向]

线

线

交面式

参数式

t为任意参数,s为曲线的弧长)

矢量式r = r ( t )r = r ( s )

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t, s同上)

 

 

 

    t(或s)增加时,曲线上一点运动的方向

            7.18

       [活动标架的三个单位矢量]  t为单位切线矢量,方向与曲线的正向一致;n为单位主法线矢量,它指向曲线的凹方;b为单位副法线矢量,b=tn.t,n,b构成右手系(图7.18.这三个矢量称为曲线在点M的活动标架(或叫动标三面形、伴随三面形,也叫活动标形).

       [活动标架所在直线和平面的方程]  M(x0,y0,z0)(图7.18.

          切线      过曲线上两点N,M的直线NM,当NM时的极限位置.其方程为

       参数式  (以t为参数)

式中表示在点M(x0,y0,z0)处的值,等等.参数t可以取为弧长s,这时用表示,等等.

       矢量式 r=r0+(以t为参数)

式中表示在点M(x0,y­0,z0)处的值,为另一个参数.

       交面式

式中表示M点的值,等等.

          法面     与切线垂直的平面(通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线).其方程为

参数式 (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0(以t为参数)

式中也可取弧长s为参数.

       矢量式             (r-r0) =0(以t为参数)

       交面式            

          密切面  通过曲线上三点M,P,N作一平面,当时,平面的极限位置(切线在密切面上).其方程为

       参数式              (以t为参数)

式中表示M点的值,等等,参数t也可取为弧长s.

       矢量式 ((r-r0))=0(以t为参数)

          主法线  法面与密切面的交线.其方程为

参数式  (以t为参数)

式中

l=,   m=, n=

(以s为参数)

表示在点M的值,等等.

矢量式         r=r0+                (以t为参数)

        r=r0+                              (以s为参数)

式中为另一个参数.

          副法线  垂直于密切面的直线.其方程为

参数式

(以t为参数)

式中l,m,n(1)式定义.

       矢量式

r0=r0+     (以t为参数)

          从切面  通过切线与副法线的平面.其方程为

 

       参数式                                  (以t为参数)

             (以s为参数)

       矢量式

 

            (以t为参数)

                  (以s为参数)

 

 

       [曲率与挠率的定义与公式]

   

曲率

曲率半径

     k表示包含点M的部分曲线偏离直线的程度,也是切线方向对于弧长的转动率

 

 

        

挠率

挠率半径

表示包含点M的部分曲线偏离平面曲线的程度.=0的曲线是平面曲线.

   是曲线在点M挠率的绝对值,它等于副法线方向对于弧长的转动率.

  挠率的符号:当点M沿曲线的正向移动时,矢量n反向,则取正号,反之取负号(图(b)

 

(a)

 

(b)

         表中分别表示t,bs的导数.

       [曲率与挠率的计算公式]

          曲率

 

       参数式

k=(以t为参数)

                k=                  (以s为参数)

       矢量式

k=      (以t为参数)

                               k=                                        (以s为参数)

 

          挠率的绝对值

       参数式

                (以t为参数)

                    (以s为参数)

矢量式

    (以t为参数)

                          (以s为参数)

式中s为弧长,t为任意参数,“¢”表示对s求导,× 表示对t求导.

       [雪列-弗莱纳公式(或基本公式)]

,      ,    

式中t,n,b为活动标架的三个基本单位矢量,为曲率半径,为挠率半径.这组公式的特点就是基本矢量t,n,b关于弧长s的导数可以用t,n,b的线性组合来表达,它的系数组成一个反对称方阵:

       这组公式与=t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律.

       把活动标架看作一个刚体,就是当M沿曲线移动时,M的活动标架好象刚体那样绕M转动.这时把s看作时间,则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为

这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.它仅分解为两个矢量tb,因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于t,按转动速度的定义,它绕着方向为t的轴转动;另一个绕着方向为b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意义:

       曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量,挠率等于绕着切线的转动支量.

       最后,由可以验证,空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是

       这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.

[基本定理与自然方程]   在一闭区间asb上给定任意两个连续函数k(s)(s),其中k(s)>0,则除了空间的位置差别外,唯一地存在一条空间曲线,它以s为弧长,可k(s)为曲率,(s)为挠率.

方程组

k=k(s),   =(s)

称为空间曲线的自然方程.

 

二、        螺旋线的方程与图形

 

[一般螺旋线]     与柱面母线的交角为定角()的空间曲线称为一般螺旋线(或定倾曲线).这种曲线具有性质:

   曲率与挠率的比等于常数(k=tan).

   切线与一固定方向的交角为定角().

   主法线与一固定方向垂直.

   副法线与一固定方向的交角为定角.

    7.19

[圆柱螺旋线]     一动点绕一直线作等速转动,并沿这直线作等速移动,则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线(图7.19),其参数方程为

式中为角速度,h称为螺距,称为螺旋角,式中对右螺旋线取正号,对左螺旋线取负号,如果以弧长s为参数,其方程为

    7.20

    曲率与挠率都是常数:k=,  

       [圆锥螺旋线]     与一圆锥面母线的交角为定角的曲线称为圆锥螺旋线(图7.20),其方程为

式中为圆锥顶角的一半,为螺旋角,都是常数.由于这种曲线投影到Oxy平面上是对数螺线,所以又称其为圆锥对数螺线.