§2
场论初步
一、
场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个标量场,用点M(x,y,z)的标函数
(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定,则标量
可以看作变矢r的函数
=
(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个矢量值r(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个矢量场,用点M(x,y,z)的矢量函数r(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定,则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r):
r(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k
例如流速场 (x,y,z),电场E(x,y,z),磁场H(x,y,z)都是矢量场.
与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念,实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad=(
,
,
)=
=
i+
j+
k
式中=i
+j
+k
称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad
有的书刊中记作del
.
grad的方向与过点(x,y,z)的等量面
=C的法线方向N重合,并指向
增加的一方,是函数
变化率最大的方向,它的长度等于
.
梯度具有性质:
grad(+
)=
grad
+
grad
(
、
为常数)
grad()=
grad
+
grad
gradF()=
[方向导数]
=l·grad
=
cos
+
cos
+
cos
式中l=(cos,cos
,cos
)为方向l的单位矢量,
,
,
为其方向角.
方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影.
[散度]
divr=+
+
=
·r=div(X , Y , Z)
式中为哈密顿算子.
散度具有性质:
div(a+
b)=
diva+
divb (
、
为常数)
div(a)=
div a+a grad
div(a×b)=b·rot a-a·rotb
[旋度]
rotr=()i+(
)j+(
)k=
×r=
式中为哈密顿算子,旋度也称涡度,rot r有的书刊中记作curl r.
旋度具有性质:
rot(a+
b)=
rot a+
rot b (
、
为常数)
rot(a)=
rot a+a×grad
rot(a×b)=(b·)a-(a·
)b+(div b)a-(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad
,运算div作用到一个矢量场 r产生标量场div r,运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场
rot
r.这三种运算的混合运算公式如下:
div rot r=0
rot grad=0
div grad=
+
+
=
grad div r=(
r)
rot rot r=×(
×r)
div grad(+
)=
div grad
+
div grad
(
、
为常数)
div grad()=
div grad
+
div grad
+2grad
·grad
grad div r-rot rot r=r
式中 为哈密顿算子,
=
·
=
2为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场r(x,y,z)是某一标函数(x,y,z)的梯度,即
r=grad 或 X=
,Y=
,Z=
则r称为势量场,标函数称为r的势函数.
矢量场r为势量场的充分必要条件是:rot r=0,或
=
,
=
,
=
势函数计算公式
(x,y,z)=
(x0,y0,z0)+
+
+
[无散场(管形场)] 若矢量场r的散度为零,即div r=0,则r称为无散场.这时必存在一个无散场T,使r=rot T,对任意点M有
T=
式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场r的旋度为零,即rot r=0,则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场,这时必存在一个标函数,使r=grad
,而对任意点M有
=-
式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的.
二、
梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式
1.单位矢量的变换
[一般公式] 假定x=f(
),y=g(
),z=h(
)把(
)空间的一个区域 一对一地连续映射为(x,y,z)空间的一个区域D,并假定f,g,h都有连续偏导数,因为对应是一对一的,所以有
=
(x,y,z),
再假定也有连续偏导数,则有
或逆变换
沿dx,dy,dz方向的单位矢量记作i,j,k,沿方向的单位矢量记作
,则有
[圆柱面坐标系的单位矢量] 对于圆柱面坐标系(图8.11)
单位矢量为
它们的偏导数为
[球面坐标系的单位矢量] 对于球面坐标系(图8.12)
单位矢量为
它们的偏导数为
2.矢量的坐标变换
[一般公式] 一个由(x,y,z)坐标系所表达的矢量可以用()坐标系来表达:
=(
,
y,
z)=
i+
y j+
z k=
式中
[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式
由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式
[球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式
由直角坐标系到球面坐标系的变换公式
3.各种算子在不同坐标系中的表达式
设U=U(x,y,z)是一个标函数,V=V(x,y,z)是一个矢函数.
[在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]
哈密顿算子 =
+
+
梯 度 gradU= U=
+
+
散 度 divV= ·V=
旋 度 rotV= ×V=
+
+
拉普拉斯算子 U=div gradU=
[在球面坐标系中各种算子的表达式]
哈密顿算子 =
+
+
梯 度 gradU= U=
+
+
散 度 div V=·V=
旋 度 rotV= ×V=
+
+
拉普拉斯算子 U=div gradU
=
三、
曲线积分、曲面积分与体积导数
[矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场r(r)沿曲线的曲线积分定义为
r(r)·dr=
r(
)·
ri-1
式中
ri-1=ri-ri-1,右边极限与
的选择无关,曲线
由A到B(图8.13)
若矢函数R(r)是连续的(就是它的三个分量是
连续函数), 曲线也是连续的, 且有连续转动的
切线, 则曲线积分
存在.
若R(r)为一力场,则P=就等于把
一质点沿着G 移动时力R所作的功.
矢量曲线积分的计算公式如下:
=
=
+
(图8.14)
=-
=
+
=k
(k为常数)
[矢量的环流] 如果G为一闭曲线,则沿曲线G 的曲线积分
=
称为矢量场R(r)沿闭曲线G 的环流.
势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果R(r)为一势量场,且它的势函数为
时,则曲线积分
=
=
(B)-
(A)
与连接A,B两点的路径无关,只依赖于A,B两点的
位置(图8.15).
[矢量的曲面积分] 设S为一曲面,令N=表示在曲面S上一点的法线单位矢量,V而dS=NdS表示面积矢量元素.又设
(r)=
(x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函数,R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x,
y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数,则曲面积分有如下的三种形式:
1 标量场的通量(或流量)
dS=
dydz i+
dzdx j+
dxdy k
式中Syz,Szx,Sxy分别表示曲面S在Oyz平面,Ozx平面,
Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下:当从z轴正方
向看去时,看到的是曲面S的正面,认为Sxy为正,如果
看到的是曲面的反面,则认为Sxy为负(图8.16).
2 矢量场的标通量
R·dS=
Xdydz+
Ydzdx+
Zdxdy
式中Syz等的意义同1.
3 矢量场的矢通量
R×dS=
(Zj-Yk)dydz+
(Xk-Zi)dzdx+
(Yi-Xj)dxdy
式中Syz等的意义同1.
[矢量的体积导数] 如果S是包围体积V的闭曲面,并包含点r,则沿闭曲面S的曲面积分(dS,
R·dS,
R×dS)与体积V之比,当V趋于零时(即它的直径
0)的极限称为标量场
(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).
1 标量场
的体积导数就是它的梯度:
grad=
2 矢量场R的体积导数之一是它的散度:
div
R=
3 矢量场R的另一个体积导数是它的旋度:
rot
R=-
四、
矢量的积分定理
[高斯公式]
RdV=
R·dS=
R·NdS
即
式中S为空间区域V的边界曲面,N=
为
在S上一点的法线单位矢量,R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z),Z(x, y,z))
在V+S上有连续偏导数.
[斯托克斯公式]
rot R·dS=
rot R·NdS=
R·dr
即
=
=
式中S为一定曲面的一侧,L为曲面S的闭边界曲线(L的正向与N构成右手系).S的每点有切面,其方向连续地依赖于曲面上的点,而边界曲线L上的每点都有切线(图8.17). R(r)=(X(x,
y,z),Y(x,
y,z),Z(x,
y,z))在曲面的所有点单值,并在与S足够靠近的点处有连续偏导数.
[格林公式]
·dS=
·dS=
式中S为空间区域V的边界曲面,为两个标函数,在S上具有连续偏导数,且在V上具有二阶连续偏导数,
为拉普拉斯算子,特别
·dS=
即