§3  线性变换

 

一、基本概念

 

[线性变换]  设和是同一域F上的两个线性空间，映射满足下面两个条件：

(i) ，对任意;

(ii) ，对任意；

则称L为线性映射或线性变换，又称同态. 若与是同一线性空间，则称L为空间V到自身的线性变换，或称为自同态.

    例1  在一个线性空间V上的一个线性函数（见本节三）是V到域F（考虑为一维线性空间）的一个线性变换.

    例2  设是线性空间V上的线性函数，则由
                     

所确定的映射是V到m维空间的一个线性变换.

    例3  设V是区间[a，b]上所有连续函数组成的实线性空间. 若令

                      

则L就是V的一个线性变换. 事实上，因为对任意实数b，c，有

     

    例4  设V为一切实系数多项式f（x）组成的线性空间. 若令

                  （为的导数）

则L是V的一个线性变换.

    [线性变换的性质]

    1o线性变换定义中的条件(i)，(ii)等价于：对任意

                    

重复应用这公式，导出

                  

    2o若是线性无关的，是一个线性变换，则

                    

也是线性无关的.

    3o若构成V的一个基底，又设，则唯一地存在一个线性变换L，使.

[零变换·恒等变换·逆变换]  将线性空间V的任一矢量α都变为线性空间的零矢量的变换，称为零变换记作O. 即对任一，有

                     （为的零矢量）

将线性空间V中任一矢量α都变为自己的变换，称为恒等变换. 记作[Lovely1] I，即对任一，有

                    

零变换和恒等变换都是线性变换.

对的线性变换L，若存在上的线性变换M，使，则称M为L的逆变换，记作.

[线性变换的矩阵]  设是线性空间V的一组基底，是的基底，是线性变换，那末可表为

             
由系数所组成的矩阵

             

称为线性变换L关于基{}和{}的矩阵.

特别，当V与的维数相同，或L是V自身的线性变换，则A为方阵.

在基底确定之后，线性变换和它的矩阵建立了一对一的对应关系. 零变换的矩阵是零矩阵，恒等变换的矩阵是单位矩阵.

    [线性变换的特征值与特征矢量]  如果存在，使得自同态满足

                          

那末称为线性变换L的特征值（特征根），称为对应于的特征矢量.

一个线性变换的特征值与特征矢量分别等于该变换的矩阵的特征值与特征矢量.

[象·象源·核·线性变换的秩]  若是一个线性变换，则称为V的象，称V为象源，称为核. 的维数称为L的秩，的维数称为退化次数.

一个线性变换的核与象分别为V和的线性子空间，核的维数与象的维数之和等于象源的维数. 即

                  

一个线性变换的秩等于该变换的矩阵的秩.

 

二、  线性变换的运算

 

[线性变换的和与数乘]  从空间V到空间的线性变换的集，记作

                    

设，按照下列公式定义:

             

这两个新的变换都是线性的，并且

                       

分别称为线性变换的和与数乘.

按上面定义的线性变换的和与数乘，集组成F上的线性空间. 它的维数等于V和的维数n和m的积.

    [线性变换的乘积]  设为三个线性空间，若，则定义

                    

显然是从的线性变换，称为线性变换的乘积.

    线性变换的乘积满足：

    1o分配律  若则

                   

    2o结合律  若.

                       

    [幂等变换]  如果L是线性空间V到自身的线性变换，满足等式

                       

那末称L为幂等变换.

    [同构与自同构]  若线性变换是一对一的，则称L是同构，或称L是正则的. V到自身的一个同构称为自同构. 若V到自身的线性变换不是自同构，则称它为奇异线性变换，否则就称为非奇异线性变换（或正则自同态）.

    同构有以下性质：

    1o是一个同构的充分必要条件是：

                       

    2o若L和M是同构的，，则

                        

特别，对自同构，上式也成立.

    3o域F上线性空间V的一切自同构所成的集G在乘法之下构成一个群. 称G为V的线性变换群，记作，其中n为V的维数.

    4o域F上线性空间V的一切线性变换（自同态）所成的集R在加法和乘法之下构成一个环，称R为A的线性变换环.

 

三、  对偶空间与对偶映射

 

    [数量积与对偶空间]  设V和是两个实（复）线性空间. 若对任意一对矢量确定了一个数量，并满足下列条件：

(i)   

   

(ii) 对一个固定的和一切,若则；反之，对一个固定的和一切,若则.则称函数为数量积.

若，则称是正交的. (ii)表明，一个空间中一个矢量与另一个空间中一切矢量正交，只当它是零矢量时才成立.

定义了数量积的两个线性空间称为对偶空间.

对偶空间的维数相等.

[对偶基底]  若V和的两个基底和满足关系式：

                 

则称它们为对偶基底.

    V和是对偶空间，则对于V的一个已知基底，恰有一个对偶基底.

[正交补空间]  设是V的一个子空间，则空间V中与的一切矢量都正交的矢量组成的集合是V的一个子空间，称为的正交补空间，记作.

正交补空间有以下性质：

1o空间和的维数之和等于空间V的维数，即
           

2o

3o若，则；而且和是一对对偶空间，和也是一对对偶空间.

    [共轭空间]  设V是域F上的线性空间，若对，在F上有唯一的一个数与对应，则称这个对应关系为定义在V上的一个函数.

    函数

                           

若对任二矢量与任意，都有

                  

则称为线性函数，又称为线性泛函. 令，则有，因此又称线性函数为线性齐次函数或线性型.

    V中线性函数的集的两个函数，的和与数乘按通常的方式定义如下：

           

则构成一个线性空间，称为V的共轭空间，的零矢量是一个恒等于零的函数.

    可以证明和V是一对对偶空间，若{}是V的一组基底，则由下列方程定义的函数为的一个基底：

                

因而{}又是{}的共轭基底.

[对偶映射]  设V，与W，是两对对偶空间；若两个线性映射：

                 与

对于一切与一切，都有

                 

则称L，为对偶映射.

对偶映射有以下性质：

1O对一个已知的线性映射，恰有一个对偶映射.

2O对偶映射L和的秩相等.

3O一个矢量包含在象空间中的充分必要条件是：与核中的一切矢量正交.

 

 [Lovely1]