§4 酉空间
一、 酉空间的定义与性质
[酉空间与欧氏空间] 设V为一个复数域F上的线性空间，若在V中定义了两个矢量
的内积（数量积），记作（），且满足：
(i) （）=（
），其中（）是（
）的共轭复数；
(ii) （
）
，等号当且仅当
时成立；
(iii) 
，对任意
成立；
则称V为一酉（U）空间，又称为内积空间.
若F是实数域，这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间.
例 n维线性空间
中，若规定
式中
则是一个酉空间.
酉空间Ｖ中的内积具有性质：
1o（
）＝
2o 
3o 一般，
则
4o 
[模(范数)] 由于
，所以
是实的. 令
称它为酉空间Ｖ中矢量
的模或范数. 模为１的矢量称为单位矢量或标准矢量.
设α，β为酉空间的矢量，c为一复数，则
1o
2o
（柯西-施瓦兹不等式）
等号当且仅当α和β线性相关时成立.
3o
这些性质与空间的维数无关.
[正交与标准正交基] 酉空间V中，若
，则称矢量α正交于β. 显然，若α正交于β，则β也正交于α.
酉空间中，任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.
如果一组单位矢量两两正交，则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V，则称它为V的标准正交基.
设{
}为酉空间V的一组标准正交矢量，
，则
1o
（贝塞耳不等式）
2o
正交于
3o当V是有限维空间时，{}成为V的基底的充分必要条件是：任一个矢量可表示为
且 
[子空间的正交补空间] 设V为复数域上的酉空间，S为V的一个子空间，若
(i) 
(ii) 对
和
有
则称T为S的正交补空间.
由(i)立刻可知
（空集）.
若S是一个有限维酉空间的一个子空间，则
中有一个子空间T为S的正交补空间.
二、 酉空间上的特殊线性变换
[共轭变换] 对域F上酉空间V上的一个线性变换L，由关系式
所定义的变换
是线性变换, 称为L的共轭变换. 若
，则称L为正规变换.
共轭变换有以下性质：
1o
2o
3o
4o
5o若L是非奇异线性变换，则也是非奇异线性变换，并且
6o若在某一标准正交基下L的矩阵为A，则共轭变换关于这同一基底的矩阵为A的共轭转置矩阵
.
[自共轭变换（埃尔米特变换）] 若
，则称L为自共轭变换或埃尔米特变换.
自共轭变换有以下性质：
1o若L，M为自共轭变换，
则
也是自共轭变换.
当L，M可交换时，LM也是自共轭变换.
2o在标准正交基下，自共轭变换的矩阵是埃尔米特矩阵. 反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是埃尔米特矩阵，则必为自共轭变换.
3o自共轭变换的特征值是实的.
4o有适当的标准正交基使自共轭变换L对应于一个实对角线矩阵，其主对角线上的元素是L的全部特征值.
[酉变换] 若对酉空间V中的任意，有线性变换L，使
则称L为酉变换.
酉变换有以下性质：
1o恒等变换为酉变换.
2o若L，M为酉变换，则LM也为酉变换.
3o若L为酉变换，则
也为酉变换.
4oL为酉变换的充分必要条件是：
或 
5o在标准正交基下，酉变换L的矩阵是酉矩阵.
反之，线性变换关于一标准正交基的矩阵是酉矩阵，则必为酉变换.
6o酉变换的特征值的绝对值都是1.
三、射影
[射影及其性质] 对线性空间V上的一个线性变换P，若有V的两个互补子空间S和T使得若
，则
这种变换P称为V沿T在S上的射影.
射影有以下性质：
1o若P是一个射影，则
因此射影是一个幂等变换；反之，幂等变换必为射影.
2o若
是线性空间V分别沿
在
上和沿
在
上的射影，则
(i) 
是一个射影，当且仅当若
时，则
，并且是沿
在
上的射影.
(ii) 若
，则P是沿
在
上的射影.
3o设T，S为有限维线性空间的两个互补子空间，P为沿子空间T在子空间S上的射影，则P的矩阵可化为如下形式：
式中A是k阶方阵.
[正射影] 设S，T为复数域上一酉空间 V的互补子空间，则V沿T在S上的射影称为V在S上的正射影.
[自共轭变换的分解] 设L是有限维酉空间V上一个自共轭变换. 令
为L的不同特征值，令
为使
的矢量α的集合，则是V的子空间. 显然对
，和
是V的正交补空间. 若{
}是Si的一个标准正交基，其中
是的维数，则由一切这些
所组成的集{}是V的一个标准正交基. 最后使Pi为V在Si上的射影，则关于上面的基底，L的矩阵有如下的形式：
=
式中
表示
阶单位矩阵. 另一方面，关于这个基底射影Pi的矩阵为
式中
表示
阶的零矩阵.
因此自共轭变换可以写成射影的一个线性组合.
四、酉空间中的度量
在本节第一段中，已经引入酉空间中的每个矢量α的模（范数）. 酉空间中两“点”（即矢量）α，β的距离
与任二矢量α，β之间的角度
的定义如下：
由上述方程所定义的函数满足尺度空间（见第二十一章，§4，一）中的一切条件.
若V是一个实酉空间，则对一切
，角度必须是实的.