§6  方阵的若当标准形

 

一、 不变子空间

 

L为一个实(或复)线性空间V的一个线性变换,SV的一个子空间,若,则称S为关于L的一个不变子空间.

n维线性空间V的一个线性变换L的不变子空间,V可以用它们的直和:

来表示的充分必要条件是:在某基底下线性变换L对应的矩阵A可化为分块对角矩阵

式中的阶数分别等于的维数.

 

二、方阵的标准化

 

[若当块与若当标准方阵]  形为

m阶方阵称为若当块,式中是一特征值.

 一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块,而其余的子阵都是零矩阵,即

                                              1

则称其为若当标准方阵或若当标准形. 注意,不同块里的这些未必两两不同.

[方阵的标准化]

1o特征值都不同的情形  若一个方阵A的特征值都不相等,则A可以化为对角矩阵,

它的主对角线上的元素就是这些特征值:
                                 

2o特征值有相等的情形  任意方阵A都可以化为与它相似的若当标准形(1),其中

是它的特征值,是特征值的重数. 如不计若当块的次序,则A的标准形是唯一的.

当且仅当一切若当块的阶都等于1时,可化为对角矩阵. 这就是1o的情形.

以上说明,假定A是一个方阵,那末总可找到一个非奇异的方阵T,使得方阵A相似.
                             

 

三、方阵标准化的方法与步骤

 

[λ矩阵]  假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ的复系数多项式
                    
称为λ矩阵. 一个λ矩阵的不恒等于零的子式的最高阶数r称为的秩.

    [不变因子与初等因子]  r的秩,k是正整数的一切k阶子式的最高公因式,则是一个的多项式,规定最高次项系数是1;此外规定

            

                       

的不变因子.

把每个分解为一次因子,得到

         

式中指数有的可能是零,当时,称为的一个初等因子.

    [初等变换·矩阵的等价]  λ矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换.

i)任何两行(列)互换;

ii)把任何一行(列)的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行(列)的相应的元素上;

iii)把任何一行(列)的元素乘上同一个不等于零的复数.

应当指出,适当地施行(ii),(iii)两种变换可以得到(i.

可由经过有限次初等变换得到,则称等价,记作.

λ矩阵经过初等变换后,其不变因子和初等因子都不变.

[λ矩阵的标准形]  λ矩阵的秩为r,不变因子为,则

              

称右边的方阵为的标准形. 它是由唯一确定的.

等价的λ矩阵具有相同的标准形.

[特征矩阵]  方阵A的特征矩阵是一个特殊的λ矩阵. 所以

1o的初等因子为

                  

其中各未必两两不同,则

                    

且有

      

    2o如果nλ矩阵

              

其中,则

式中JA的若当标准形.

3oA的特征矩阵的初等因子为

           

                             

JA的若当标准形.

    [方阵标准化的步骤]  把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下:

    (1)  利用初等变换把化为对角矩阵,分解对角线上的多项式,就得到的全部初等因子.

(2)  相应于每个初等因子,作出一个m阶的若当块
                    

    (3)  把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形.

    1  求方阵        

         

的若当标准形.

   

                   

容易求出它的不变因子为11,所以初等因子是,因此得到A的若当标准形

    2  求方阵

                          

的若当标准形.

   

                   

经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵

                           

所以初等因子为,相应的若当块为

所以A的若当标准形为