§3   仿射坐标系

一、 仿射坐标系与度量系数

    [仿射坐标]  在三维欧氏空间*中,若取一个直角坐标系,其坐标单位矢量为ijk时,则空间中的矢量a可表示为

aax iay  jaz k

    一般地,在空间中给定了三个不共面的矢量e1e2e3,则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解,令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数,而是上标)a可表示为

aa1e1a2e2a3e3

或简计作**                 aaiei

aa1,a2,a3{ ai}***

这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系,e1,e2,e3称为坐标矢量,a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标.

    [欧氏空间中度量系数]  当矢量a写成上面的形式时,则它的长度a

(a)2(aiei)(ajej)(eiej)aiaj

给出.

eiejgij(gji)   (ij1,2,3)

则称gij为仿射坐标系的度量系数.

    1  矢量a的长度由

(a)2gijaiaj

计算.

    2  两个矢量

aaieibbjej

的夹角

cos

计算.

    3  因为gijaiaj是正定二次型,所以由gij所作的行列式

混合积

(e,e,e)2= =g

(e,e,e)=

    [克罗内克尔符号]  对称矩阵

的逆矩阵用

来表示.由逆矩阵的性质,有gij=gji

gikgkj=

式中

=

称为克罗内克尔符号.

    [互易矢量]  利用这个gij规定

ei=gijej

因而有

ej=gijei

eiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=

eiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gil=gij

    e,e,e,可以得到

e1=(e2×e3),

e2=(e3×e1), e3=(e1×e2)

e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量. gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.



*欧几里得空间简称欧氏空间,它的定义见第二十一章,§4.

** 这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次,就表示它取一切可能的值;如果

每个指标在乘积中出现两次,就表示取一切可能的值,而后再把各项相加,求其总和.这种规定称

为爱因斯坦约定.

*** 这是张量写法.