2、勒贝格积分

    [有界函数的勒贝格积分]  在有界区间内给定一个有界可测的实函数,在)的变化范围内插入分点:

                                          1

并用表示使内的点x所构成的集,对每个分法(1)的序列,当时,和式趋于唯一的有限极限I,记作

                     

这个量称为内按勒贝格意义的定积分,又称为勒贝格积分,称内是可积(在勒贝格意义下,下同)的.

    [无界函数的勒贝格积分]   在有界区间内是无界可测函数,则勒贝格积分定义如下:

                      

式中

 

[在无界区间上的勒贝格积分]  对一切存在,则定义勒贝格积分如下:

                  


式中         

同样可以定义.

[在一个点集上的勒贝格积分]  上述有界和无界函数的勒贝格积分的定义可推广到任一个可测集S上的勒贝格积分. 还可推广到n维空间的区域或可测集上的多重勒贝格积分.

[勒贝格积分的存在性与性质]

1o每个有界可测集函数在任一有界可测集上是可积的,在一可测集S上的可积函数在S的每个子集上都是可积的.

2o勒贝格积分存在的充分必要条件是:勒贝格积分存在.

3o在一个测度等于零的集上的勒贝格积分等于零.

4o为一组可数的互不相交(即)的可测集,假定上的勒贝格积分都存在,则

                            

5o连续性定理  和一个正的函数在一个可测集S上都是可测的,并且对一切nS中一切x,不等式

                                

几乎处处成立;又设对S中几乎一切x,使成立,则

                                

存在,且

                           

6o勒贝格基本定理  S是一个可测集,不一定有界.

    (i) 都是S上非负的可测函数;

    (ii)