4 黎曼面·支点与支线

    [n值函数的黎曼面]  n个分支:

                 

的各个分支把除去正实轴的z平面相应地单值映射到下面各个扇形区域:

                     

所以,除去正实轴的z平面上的任一点在平面上的象点都有n个,这时,假设原来z平面上同一位置的z点,可以区别成n个不同的点,它们分别落在n叶沿正实轴剪开的z平面上:

文本框:  
图 10.2   的黎曼面
             

至于正实轴上的点,只要把T0的下岸()与T1的上岸相粘接,再把T1的下岸与T2的上岸相粘接,……,最后把的下岸()与T0的上岸()相粘接,于是正实轴上的任一点也可以区分成个点了.这样相互粘接的叶沿正实轴剪开的平面,称它是的黎曼面,图10.2n=4的情况。在它的黎曼面上是单值的了 .

    处是特殊的情况,它连接n叶平面.称它是n-1阶支点,也是阶支点.连接两个支点的正实轴称为支线.

    [多值函数的黎曼面]  函数有无穷多分支:

          

文本框:  
   图 10.3   的黎曼面
的黎曼面的想法类似,的黎曼面是由无穷多叶沿正实轴剪开的z平面粘接而成,图10.3  是它的示意图.

    函数在它的黎曼面上是单值的了.

    都是的无穷阶支点.

    一般地,如果函数在区域D内不是单值的,可将区域的概念推广,使在新的区域内,函数变成单值的.这种推广了的区域,称为函数的黎曼面.