§4  傅立叶变换

一、         傅立叶积分

    [傅立叶积分]  在任一有限区间[-l, l]上绝对可积的函数,可以求出它的傅立叶级数(本章§1,二)

                                            (1)

    设函数在无穷区间(- )上绝对可积,在(1)式中,令l得出f ( x )的傅立叶积分

    [傅立叶积分的几种形式]

    的傅立叶积分满足收敛的条件,那末

    1o  =

    2o  =  (外层积分理解为主值意义下的积分)

    3o  是偶函数:

=

    4o  是奇函数:

=

    [傅立叶积分的收敛判别法]  设函数上绝对可积,记积分(1)的假想值为S0.假设在点x0连续,或者x0是它的第一类间断点,并且在连续点x0S0=,而在第一类间断点x0处,

S0=

    1o  狄尼判别法 ,如果对于某,积分

收敛,那末的傅立叶积分在点x0处收敛,并且等于S0.

    2o  狄利克莱-若当判别法  如果在以x0为中点的某一区间[x0-h,x0+h]上有有界变差,那末它的傅立叶积分在点x0处收敛,并且等于S0.

    3o  如果函数上有有界变差,同时

那末的傅立叶积分在任一点x0处收敛,并且等于S0.