三、    具有可分离核(退化核)的Fr方程

    [可分离核(退化核)]  若核K(x,x )可分解为如下的形式:

则称K(x,x )为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,L,n)在有关区间上是线性无关的。

例如,如果核是关于xx 的任一多项式,那么这个核就是退化核,核sin(x+x )也是退化核。

[具有可分离核的第二类Fr方程解法]  具有可分离核的第二类Fr方程

                                   (1)

                                        (2)

的解法如下,首先设

       (k=1,2,L,n)

于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,L,cn

再用gi(2)式两边且积分,令

    i=1,2,L,n ,  j=1,2,L,n

c1,c2,L,cn满足方程组

     i=1,2,L,n

                                            3

矩阵形式为

                       I-lAc=b

式中In阶单位矩阵,A=(aij),c= (c1,c2,L,cn)t , b= (b1,b2,L,bn)t 。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是:方程的系数行列式

                            D=detI-l A¹0

如果F(x)º0,bi=0(i=1,2,Ln),那末方程(3)为齐次方程组。因此,D¹0时,y(x)º0是积分方程(1)的平凡解(零解),且是唯一解。当D=0时,至少有一个ci可以任意指定,其余的cj可以求出,于是积分方程(1) 存在无穷多个解。

使D=0l值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。

如果对于l的一个给定的特征值,可以从常数c1,c2,L,cn中任意指定r个,那么可得到r个线性无关的对应特征函数。

如果F(x)不恒为零,但与g1(x), g2(x), L,gn(x)正交,即bi=0 (i=1,2,Ln)。那末方程组(3)仍为齐次的,以上的讨论也适用,除非这里积分方程的解也包含函数F(x)。这样平凡值 c1= c2=L= cn=0导出解y=F(x)。对应于l的特征值的解是F与特征函数的任意倍数之和。

最后,如果(3)式右边的bi至少有一个不为零,当行列式D¹0时,方程组(3)存在唯一的非平凡解,于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解,当D=0时,则方程(3)或者是不相容的,这时积分方程(1)没有解;或者n个方程中至少有两个是相同的,这时积分方程(1)有无穷多个解。

  解积分方程

                                            (1)

  可把这个方程改写为

                       y(x)=l(c1-3c2x)+F(x)                                    (2)

式中

决定c1,c2的方程组是

                                              (3)

其系数行列式为

则积分方程(1)存在唯一解的条件是l¹±2。由(3)解出c1,c2并代入(2)得到(1)的解。特别,若F(x)=0, l¹±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。数λ=±2为问题的特征值。

λ=2,则方程组(3)

这两个方程是不相容的,除非函数F(x)满足条件

这时两个方程相同。

λ=-2,则方程组(3)

这两个方程也是不相容的,除非函数F(x)满足条件

这时两个方程也是相同的。

现在具体讨论积分方程(1)的解。

  先考虑齐次方程(即F(x)=0)的情形。若l ¹±2,则唯一解是平凡解y(x)=0

λ=2时,代数方程组只给出一个条件c1=3c2。这时,解是

y(x)=c1(1-x)

式中c1=3λc2=6c2是任意常数,1-x是对应于特征值λ=2的特征函数。

λ=-2时,解是

y(x)=c2(1-3x)

式中c2=λc1=-2c1是任意常数,1-3x是对应于λ=-2的特征函数

方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式:

y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)

式中。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F(x)的和来表达。

在非齐次的情形(即F(x)不恒等于零)下,若l¹±2,则积分方程(1)存在唯一解。

λ=2时,积分方程(1)没有解,除非在区间[0,1]F(x)正交于λ=2所对应的特征函数1-x*,即

在此条件下,再利用c1-3c2=,给出积分方程(1)的解。

式中c1=6c2是任意常数,因此,这时存在无穷多个解。

类似地,当λ=-2时,积分方程(1)没有解,除非在区间[0,1]F(x)正交于1-3x,

这时存在如下的无穷多个解:

式中c2=-2c1是任意常数。



* 在下一段会看到,这个情形是原积分方程中核K(x,ξ)=1-3xξ  的对称性的一个推论。