六、弗雷德霍姆的理论

[Fr方母]  预解核R(x,ξ;λ)可以用关于λ的两个幂级数之比来表达,这两个级数对一切λ值都是收敛的。

若预解核表成

                                              (1)

式中

                      (2)
                                             (3)

Δ(λ)称为Fr分母,它与变量x,ξ无关。式中系数cn与函数Dn(x,ξ)可由下列递推公式逐次算出:

  

     

               LLL

        

那末方程

的解可将(1)代入上段(7)式中得到,其形式为

                                                          4

K(x,x )是可分离时,这个结果与本节三中所得到的解一致,这时级数(2)(3)都只包含有限项。

更一般地,若级数(2)(3)之比用关于l的幂级数(由除法或其他方法)来表达,结果将化为上段的(6)式的级数形式,而它只对充分小的l 值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分母的级数展开式对l的一切值都收敛。

分母D(l )只当l取一特征值时等于零,在这个情形下,Fr方程或者无解或者有无穷多个解,并且(4)不再成立。

[D(l)的零点与Fr方程]  应用存在性与唯一性定理,有以下结论:

  l不是D(l )的零点,则对任意的F(x),(4)式是Fr方程的唯一解。

  函数D(l )的一切零点都是预解核的极点。

  lcD(l )的零点,则齐次方程

有非零解。

于是D(l )的一切零点都是上面积分方程的特征值,就是说,这时齐次方程

                                               (5)

有非零解。若l 不是D(l )的零点,则由1o,非齐次Fr方程对任意的F(x)有唯一解,特别,这时上面齐次方程只有零解,即

lD(l )的零点,则它是特征值,若l不是D(l )的零点,则它不是特征值,于是得到

  积分方程的特征值都是D(l )的零点。

  l 平面的任何有限区域内只有有限个特征值。

[转置积分方程]  形如

                                    (6)

的方程叫做Fr方程

的转置积分方程,它的相应的齐次方程为

                                                (7)

这个方程的核记作

K0(x,x )=K(x, x)

转置积分方程具有以下性质:

  齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解,或同时有非零解。

  齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。

  l是特征值,则非齐次Fr方程可解的充分必要条件是:自由项F(x)满足条件

式中是转置方程的任何特征函数,即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足,则Fr方程有无穷多个解,而一切这样的解取形式

式中y0(x)Fr方程的任意特解,为方程(5)r个非平凡的线性无关的解,c1,c2,L,cr为任意常数。

    应当指出,上式结果与n个变量的n个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。