§4  拟协调单元

一、        协调问题与拟协调单元

等参数单元有一个缺点,就是节点与插值次数无论如何增加,各单元之间都只能保证插值函数本身的连续性,这对于积分式仅含待定函数及其一阶导数的变分问题(例如空间弹性力学问题,其变形能中应变是位移的一阶偏导数)来说是适用的,但是对于包含高阶导数的变分问题(例如杆、板的弯曲问题,其变形能积分就含有待定的挠度函数的二阶偏导数),对插值函数往往要求在整个区域有一阶的连续性。而这类所谓协调问题,等参数单元是无法解决的。这种光滑性的要求当然要首先在节点上反映出来,也就是说,单元的节点参数值应当包含待定函数的有关导数值。这一类单元可统称为拟协调单元。

[型函数]  假定在某个单元上有p个节点,其局部编号为i=1,2,,p。先考虑待定函数u=u(x,y,z)及其一阶偏导数在节点i的参数值

每一节点参数值个数r=4。于是每个单元共有4p个节点参数值。如果插值函数为三元n次多项式,则其项数或各项系数一般有个,显然次数n必须满足

*

这时对应于各节点参数值,可定义型函数为如下的4pn次多项式(i=1,2,,p) :

(i)在节点i

(ii)在其余p-1个节点ji,上述十六个函数即及其一阶偏导数都等于零。

(iii)

如果能把这些型函数构造出来,那末u的插值多项式就可以表示为

如果待定函数是(u,v,w),其他条件同前,则其插值函数()可表示为

或用矢量表示

      

[待定系数法]  待定系数法是从4p个节点参数值直接解出插值多项式的各项系数。一般地说,完全的n次多项式系数{}的个数N=会大于4p,需要对多项式补加N-4p个条件才能唯一地确定这些系数。最简单的方式是象§3中那样,限制多项式的形式(例如限制多项式为三k次多项式,即对xyz都是k次的,系数的个数就减为)或除去某些高次项(即令相应的系数为零)使得系数个数为4p,假定经过限制后的插值多项式改写为

4p个节点参数值可得4p个方程

   i=1,2,…,p

式中等分别表示由多项式各项(项数为4p)及其偏导数在节点i的数值所构成的列矢量。把这单元的全部节点参数值排成列矢量,并以U表示上式右端p4×4p的系数矩阵依序排列所构成的4p×4p的系数矩阵,则4p个方程可简写为

从此可解出各项的系数

                                     (15)

可以看出,在同样的限制下,型函数的各项系数实际上就是中一个分量取1,其余分量取零的解。

另一种方式是对插值函数一般表达式

按光滑性要求或物理条件附加一定的约束,并假定这些约束可表示为N-4p个关于的线性方程

                                        (16)

式中Q为(N-4p)×N的系数矩阵。对于这完全的n次插值多项式,同样可从4p个节点参数值得出如下4p个方程

                                     (17)

式中表示4p×N的系数矩阵,只要选取约束条件适当*,一般解联立方程组(16)(17)可得

   ,

N×N矩阵G分成前4p列与后(N-4p)列二子矩阵:G=[]。则

(15)(17)表示u的节点参数值与插值多项式的系数之间的对应关系,对待定函数vw也有类似的关系式。如果写成矢量形式,则插值多项式为

                     (18)

[广义节点参数]  如果直接用插值多项式(18)代替(1)式作单元分析,则变分方程(2)应改为

   式中各项{R}相当于型函数,而系数{a}起着节点参数值的作用,称为单元的广义节点参数.在上式和号后的单元系数矩阵与等价外力也是广义的,分别记作

于是有

式中A(15)中的矩阵.对于插值多项式也有类似结果.

[节点参数值的变换]  节点参数值中含有偏导数,它们在直角坐标系和局部坐标系中的数值是不同的.例如,直角坐标系中的节点参数值

在局部坐标系中为

                 (20)

式中四阶矩阵右下标i表示在节点i的值.反之

记局部坐标系中的型函数为,直角坐标系中的型函数为,从表达式

可知它们具有如下的线性关系

                              (21)

实际上,凡是包含微分运算的部分,例如在的积分式中包含微分运算的矩阵B,边界的方向导数等等,在坐标变换下都要作相应的变换.



* 对一或二的情况应改为.如果规定为双次多项式,则取等等.

* 注意,附加的约束应当结合单元的剖分来选定:有的约束对某种单元并不适用.例如,对三边形板元作三次插值,如果在三个顶点取函数及其一阶偏导数为节点参数值,,于是,即需加一个条件.为了收敛性,要包含完全的二次多项式,而由于对称性,一般可令二系数相等,但这种约束对于平行坐标轴的等腰直角三角形单元,可以论证相应的矩阵是奇异的.