二、多个率或多个构成比的比较

（一）2×K表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算χ²值较为简便。如果是多个率比较，就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数，2为每个组内所划分的类型数。求χ²值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便：

表3.9　2×K表形式之一

a1 a2 ┆ ┆	b1 b2 ┆ ┆	n1 n2 ┆ ┆
∑ai	∑bi	N

公式中符号的意义参阅表3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。

例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂）预防疟疾复发的效果，用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表3.10，问三组复发率有无显著差别？

表3.10　三个组的疟疾复发率

组　别	观察例数	复发例数	复发率（%）
吡嗪磺合剂 乙胺嘧啶 对　照	1996 473 484	76 27 53	3.81 5.71 10.95
合　计	2953	156	5.28

χ²检验步骤如下：

1．将表3.10资料写成2×K表形式，见表3.11。注意：这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分，这样表3.10就为写成2×3表。

表3.11　三个组疟疾复发率的比较

	复发	未复发	合 计
吡嗪磺合剂	76	1920	1996
乙胺嘧啶	27	446	473
对 照	53	431	484
合 计	156	2797	2953

2．H₀：三个总体复发率相同

H_１：三个总体复发率不全相同

α=0.05

3．求χ²值 将表3.11的数值代入式（3.10）（因为在表3.11中，各组的a值较小，计算较方便）得：

4．求自由度，确定P值，作结论

ν=（K-1）（2-1）=（3-1）（2-1）=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21，本例χ²=39.92>χ²_0.01(2)，P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H₀，接受H₁，即三个组的复发率有显著差别。

本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是：吡嗪磺合剂与对照组比（P<0.01），乙胺嘧啶组与对照组比（P<0.01），而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比（P>0.05），说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12　2×K表形式之二

a1	a2	……	∑ai∑bi
b1	b2	……
n1	n2	……	N

例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？

表3.13　某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名	弥漫型	结节型	混合型	合计
甲县	486	2	4	492
乙县	133	260	51	444
合计	619	262	55	936

检验步骤如下：

1．H₀：两总体甲状腺肿型别构成相同

H_1：两总体甲状腺肿型别构成不同

α=0.05

2．求χ²值， 将表3.13中的数值代入式3.10得：

3．求自由度，确定P值，作结论。

ν=（3-1）（2-1）=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21,本例，χ²=494.36，P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P<0.01）。甲县以弥漫型为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。

此类资料经χ²检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。

（二）R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时，可用基本公式（3.5）,但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ²值，较为简便。

式中，A_ij为i行第j列的实际频数，n_i为第i行的合计数，n_j为第j行列的合计数，N为总频数。

这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2×K表资料的X²值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为简便。

例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？

表3.14　胆结石类型与部位的关系

结石部位	总例数	例 数			百　分　比
		胆固醇结石	胆红素结石	其它	胆固醇结石	胆红素结石	其它
胆囊	118	70	16	32	59.3	13.6	27.1
肝外胆管	75	12	39	24	16.0	52.0	32.0
肝内胆管	29	2	20	7	6.9	69.0	24.1
合计	222	84	75	63	37.8	33.8	28.4

检验步骤如下：

1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.

表3.15　胆结石类型与部位的关系

结石部位	结 构 类 型
	胆固醇结石	胆红素结石	其它	合计
胆囊	70	16	32	118
肝外胆管	12	39	24	75
肝内胆管	2	20	7	29
合计	84	75	63	222

2．H₀：胆结石的类型与部位没有关系

H₁：胆结石的类型与部位有关系

α=0.01

3．求χ²值 将表3.15数值代入式（3.12）得：

4．求自由度，确定P值，作结论。

ν=（3-1）（3-1）=4，查χ²值表得χ²_0.01(4)=13.28，本例χ²=64.06<χ²_0.01。在α=0.01水准处拒绝H₀，接受H₁，胆结石类型与部位有显著关系存在（P<0.01）,胆囊内以胆固醇结石居多，肝内、外胆管以胆红素结石为主。