二、埃尔米特(H)型

    [H型]  关于n个实（或复）变数的一个二次型

称为一个埃尔米特型（H型），式中A为一个n阶埃尔米特矩阵（第四章，§2，四），即.

如果一个H型对任一组不全为零的复数，使得，，或，则分别称H型为正定的，负定的，半正定的或半负定的.其他一切H型称为不定的（即的符号与有关）或恒等于零.

[化H型为标准型]

1^o一个线性变换（3）把每个H型变为关于新变数的一个新的H型

式中                 

或                   

2^o对每个H型，存在线性变换（3），使得

                                              （7）

在（7）式中系数不等于零的个数r与所采用的对角化的变换无关，并且等于已知矩阵A的秩，r称为H型的秩.

    3^o特别，对每个H型存在一个对应于对角线酉矩阵T的线性变换，可把H型化为标准型

                                              （8）

式中实数组是已知矩阵A的特征值.

4^o再施行变换，表达式（8）化为

式中等于1，或0，分别对应于特征值是正的，负的或零.

[两个H型的联立简化]  给定两个H型与，其中是正定的，存在一个变换（3），使得

实数是矩阵的特征值，它们是n次代数方程

的根.

[正定等的判别法]

    1^o一个H型是正定，负定，半正定，半负定，不定或恒等于零的充分必要条件是：矩阵A的特征值（一定是实的）分别都是正的，都是负的，都是非负的，都是非正的，符号不同或都等于零.

    2^o一个埃尔米特矩阵A（和相应的H型）是正定或半正定的充分必要条件是：的每个主子式都是正的或非负的.

    3^o一个埃尔米特矩阵A（和相应的H型）是负定或半负定的充分必要条件是：－A分别是正定或半正定.

    4^o一个矩阵A是一个半正定的埃尔米特矩阵的充分必要条件是：