§7  泛函分析初步

一、勒贝格积分

1、 测度与可测函数

[测度与可测集]  设S为某一区间内的任一有界点集，则把覆盖S的一组区间的长度之和的下确界称为S的外测度，记作. 包含S的任一有界区间的长度与S关于的余集（即内不属于S的点的全体）的外测度之差称为S的内测度，记作. =的集S称为可测集，其测度记作.

设S为直线上的一个无界点集，若对一切大于零的x，是可测的，则称这个无界点集S是可测的. 在这种情形下，定义无界点集S的测度为

这里可以有限或无限.

每个有界开集都是可测的.

可测集的概念可以推广到n维空间的点集上去.

[几乎处处]  若一个性质对区间上除了一个测度为零的集合之外，在其他点都成立，则称这个性质在已知区间上几乎处处成立.

[可测函数]  设函数在可测集S上定义，而c是任意实数. 若在S上使的一切点x所构成的集是可测的，则称函数为在S上的一个可测函数.

在这个定义中，条件可用，，中任一条件来代替.

在内任一连续函数是内的可测函数.

若都是内的可测函数，则（a为常数），和（极限存在）也都是内的可测函数.