五、二阶偏微分方程的常用解法
1. 分离变量法
它是解线性微分方程常用的一种方法，特别当区域是矩形、柱体、球体时使用更为普遍.这种方法是先求满足边界条件的特解，利用迭加原理，作这些特解的线性组合，得到定解问题的解.求特解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值和特征函数.以下对不同类型方程说明分离变量法的具体解法.
[弦振动方程]
1° 两端固定的弦振动齐次方程混合问题
设u(x,t)=X(x)T(t)，具体解法如下：
(1) X(x)，T(t)满足的常微分方程：
(2) 用此二常微分方程的解的乘积表示弦振动方程的特解un(x,t).
解边值问题
当
时，有非零解
称λn为边值问题的特征值，Xn(x)为特征函数.把λn代入T(t)的方程，得
式中An,Bn为任意常数，这样就得到弦振动方程的特解：
(3) 把un(x,t)迭加，形式上作级数
(4) 利用特征函数的正交性，确定系数An,Bn.
把
(x)及
(x)展开成傅立叶级数
式中
利用初始条件可得
于是混合问题的形式解为
若(i) (x)具有一阶和二阶连续导数，三阶导数逐段连续，且(0)=(l)，"(0)="(l)=0;(ii)(x)连续可微，二阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，那末形式解右端的级数一致收敛，形式解就是混合问题的正规解.
2° 解的物理意义
弦的这种形式的振动称为驻波，点
(m=0,1
n)
为不动的点，称为节点；点
(m=0,1,2
n－1)处振幅最大，称为腹点；
称为弦振动的固有频率；弦线发出的最低音的频率为
（τ为张力，ρ为弦的线密度）称为该弦的基音，其他频率都是它的整数倍，称为泛音.
3° 非齐次方程的混合问题
将u(x,t)和f(x,t)展开成傅立叶级数：
那末根据定解条件再利用1°中(x)与(x)的傅立叶展开式，有
所以
形式解为
若(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(x)和f(x,t)连续可微，二阶导数逐段连续，同时
(0)=(l)="(0)="(l)=0
(0)=(l)=f(0,t)=f(l,t)=0
则级数一致收敛，形式解就是非齐次方程混合问题的正规解.
4° 遇到非齐次边界条件
作变换
可化为关于v(x,t)的齐次边界条件求解.
[热传导方程] 热传导方程的第一边值问题
设u(x,t)=X(x)T(t)，得
X"(x)+2X(x)=0
T'(t)+a22T(t)=0
特征值
，对应的特征函数为
，而
作形式解
式中cn等于(x)的傅立叶系数即
.
当(x)具有一、二阶连续导数，三阶导数逐段连续，(0)=(l)=0，则上述级数一致收敛，形式解就是正规解了.
[拉普拉斯方程] 球内定常温度分布的狄利克莱问题—拉普拉斯方程的狄利克莱问题.
选用球坐标
令u(r,
,)=v(r,
)(
).代入方程，分离变量
得
)+k2
)=0 (1)
(2)利用对于变量
的周期性，u(r, 
, 
)=u(r, 
, 
+2
)，可知方程(1)中的k只能取m(m=0,1
)，那末(
)取{cosm
,sinm
}.再将方程(2)分离变量，令v=R(r)H(
)，得
(3)
(4)方程(4)的解可用勒让德多项式表示，为了使解有界，λ只能取
λn2=n(n+1) (n=0,1,2,…)
对应的解H(
)=Pn(m)(cos
)，
，Pn(x)为勒让德多项式
方程(3)可写成
这是欧拉方程，其有界解为R(r)=c1rn.最后将u的特解迭加，利用边界条件和球函数的正交性得
式中Pn(m)(cos
)为一般勒让德函数.
如果
二次连续可微，则表示
的级数一致收敛，它就是狄利克莱问题的解.
[高阶方程] 梁的横向振动方程为
（a为常数） (1)
定解条件为
设y(x,t)=X(x)T(t)，那末
方程(2)满足X"(0)=X"(l)=0的特征值
，特征函数
(n=1,2
)，方程(3)的解为
所以方程(1)的形式解为
由y(x,0)=x(l－x)得
最后得到方程(1)的解.
