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2. 椭圆型方程的差分方法

[五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题

式中为定义在D的边界S上的已知函数.

采用正方形网格，记，在节点(i, j)上分别用差商

代替，对应的差分方程为

（1）

或

即任一节点(i, j)上的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取

(2)

式中是与节点(i, j)最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的值为未知量的若干个线性代数方程，由于每一个节点都可列出一个方程，所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数，于是，可用通常的方法（如高斯消去法）解此线性代数方程组，但当步长不很大时，用高斯消去法将会遇到很大困难，可用下面介绍的其他方法求解.

若h0时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分方程为收敛的.

在计算过程中，由于进行四则运算引起舍入误差，每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果，如果这种影响所产生的计算偏差可以控制，而不至于随着计算次数的增加而无限增大，则称差分方程是稳定的.

[迭代法解差分方程] 在五点格式的差分方程中，任意取一组初值{}，只要求它们在边界节点(i, j)上取以已知值，然后用逐次逼近法（也称迭代法）解五点格式：

逐次求出{}.当(i+1, j)，(i－1, j)，(i, j－1)，(i, j+1)中有一点是边界节点时，每次迭代时，都要在这一点上取最接近的边界点的值.当n→∞时，收敛于差分方程的解，因此n充分大时，{}可作差分方程的近似解，迭代次数越多，近似解越接近差分方程的解.

[用调节余数法求节点上解的近似值] 以差商代替Δu时，用节点(i+1, j)，(i－1, j)，(i, j+1)，(i, j－1)上u的近似值来表示u在节点(i, j)的值将产生的误差，称此误差为余数，即

图14.8

设在(i, j)上给以改变量，从上式可见将减少4，而其余含有的差分方程中的余数将增加，多次调整的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内，这样可获得各节点上u(x, y)的近似值.这种方法比较简单，特别在对称区域中计算更简捷.

例求Δu=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4（图14.8）

解记u(A)=，点A,B,C,D的余数分别为

－4+ u_B+ u_c +5=

－4 u_B + u_D+7=R_B

－4 u_c+ u_D+3=R_C

u_B+ u_c－4u_D+5=R_D

以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值，即

=u_B⁽⁰⁾=u_C⁽⁰⁾=u_D⁽⁰⁾=2.5

则相应的余数为：

=0, R_B=2, R_C= －2, R_D=0

最大余数为±2.先用δu_C=－0.5把R_C缩减为零，u_C相应地变为2，这时, R_D也同时缩减(－0.5)，新余数是=－0.5,R_B=2,, R_D=－0.5.类似地再变更δu_B=0.5，从而 u_B变为3，则得新余数为.这样便可消去各节点的余数，于是u在各节点的近似值为：

=2.5, u_B=3, u_C=2, u_D=2.5

现将各次近似值及余数列表如下：

次数	调整值	第n次近似值及余数
次数	调整值			u_B	R_B	u_C	R_C	u_D	R_D
0 1 2	δu_C= －0.5 δu_B = 0.5	2.5 2.5 2.5	0 －0.5 0	2.5 2.5 3	2 2 0	2.5 2 2	－2 0 0	2.5 2.5 2.5	0 －0.5 0
结果近似值		2.5		3		2		2.5

[解重调和方程的差分方法] 在矩形D(x₀≤x≤x₀+a,y₀≤y≤y₀+a)中考虑重调和方程

取步长，引直线族

(i, j = 0, 1, 2 n)

作成一个正方形网格.用差商代替偏导数

上式表明了以(x, y)为中心时，u(x, y)的函数值与周围各点函数值的关系，但对于邻近边界节点的点(x, y)，如图14.9中的A，就不能直接使用上式，此时将划分网格的直线族延伸，在延伸线上定出与边界距离为h的点，称这些点为外邻边界节点，如图14.9以A为中心时，点E,C为边界节点，点J,K为E,C的外邻边界节点，用下法补充定义外邻边界节点J处函数的近似值u_J，便可应用上面的公式.