三、 具有可分离核（退化核）的Fr方程
[可分离核（退化核）] 若核K(x,x )可分解为如下的形式：
则称K(x,x )为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,L,n)在有关区间上是线性无关的。
例如，如果核是关于x和x 的任一多项式，那么这个核就是退化核，核sin(x+x )也是退化核。
[具有可分离核的第二类Fr方程解法] 具有可分离核的第二类Fr方程
(1)
即
(2)
的解法如下，首先设
(k=1,2,L,n)
则
于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,L,cn。
再用gi乘(2)式两边且积分，令
，
（i=1,2,L,n , j=1,2,L,n）
则c1,c2,L,cn满足方程组
（i=1,2,L,n）
即
（3）
矩阵形式为
（I-lA）c=b
式中I为n阶单位矩阵，A=(aij),c= (c1,c2,L,cn)t , b= (b1,b2,L,bn)t 。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系数行列式
D=det（I-l A）¹0
如果F(x)º0,则bi=0(i=1,2,Ln)，那末方程(3)为齐次方程组。因此,当D¹0时，y(x)º0是积分方程(1)的平凡解（零解），且是唯一解。当D=0时，至少有一个ci可以任意指定，其余的cj可以求出，于是积分方程(1) 存在无穷多个解。
使D=0的l值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。
如果对于l的一个给定的特征值，可以从常数c1,c2,L,cn中任意指定r个，那么可得到r个线性无关的对应特征函数。
如果F(x)不恒为零,但与g1(x), g2(x), L,gn(x)正交，即bi=0 (i=1,2,Ln)。那末方程组(3)仍为齐次的，以上的讨论也适用，除非这里积分方程的解也包含函数F(x)。这样平凡值 c1= c2=L= cn=0导出解y=F(x)。对应于l的特征值的解是F与特征函数的任意倍数之和。
最后，如果(3)式右边的bi至少有一个不为零，当行列式D¹0时，方程组(3)存在唯一的非平凡解，于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解，当D=0时，则方程(3)或者是不相容的，这时积分方程(1)没有解；或者n个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程(1)有无穷多个解。
例 解积分方程
(1)
解 可把这个方程改写为
y(x)=l(c1-3c2x)+F(x) (2)
式中
，
决定c1,c2的方程组是
(3)
其系数行列式为
则积分方程(1)存在唯一解的条件是l¹±2。由(3)解出c1,c2并代入(2)得到(1)的解。特别，若F(x)=0, l¹±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。数λ=±2为问题的特征值。
若λ=2，则方程组(3) 为
这两个方程是不相容的，除非函数F(x)满足条件
这时两个方程相同。
若λ=-2，则方程组(3) 为
这两个方程也是不相容的，除非函数F(x)满足条件
这时两个方程也是相同的。
现在具体讨论积分方程(1)的解。
1° 先考虑齐次方程（即F(x)=0）的情形。若l ¹±2，则唯一解是平凡解y(x)=0。
当λ=2时，代数方程组只给出一个条件c1=3c2。这时，解是
y(x)=c1(1-x)
式中c1=3λc2=6c2是任意常数，1-x是对应于特征值λ=2的特征函数。
当λ=-2时，解是
y(x)=c2(1-3x)
式中c2=λc1=-2c1是任意常数，1-3x是对应于λ=-2的特征函数。
方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式：
y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)
式中
，
。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F(x)的和来表达。
2° 在非齐次的情形（即F(x)不恒等于零）下，若l¹±2，则积分方程(1)存在唯一解。
当λ=2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F(x)正交于λ=2所对应的特征函数1-x*,即
在此条件下，再利用c1-3c2=
,给出积分方程(1)的解。
式中c1=6c2是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。
类似地，当λ=-2时，积分方程(1)没有解，除非在区间[0,1]上F(x)正交于1-3x,即
这时存在如下的无穷多个解：
式中c2=-2c1是任意常数。