五、正交试验设计
[正交表与正交试验] 正交表是根据组合理论，按照一定规律构造的表格，它在试验设计中有广泛的应用。以正交表为工具安排试验方案和进行结果分析的试验称为正交试验。它适用于多因素、多指标（试验需要考察的结果）、多因素间存在交互作用（因素之间联合起作用）、具有随机误差的试验。通过正交试验，可以分析各因素及其交互作用对试验指标的影响，按其重要程度找出主次关系，并确定对试验指标的最优工艺条件。在正交试验中要求每个所考虑的因素都是可控的。在整个试验中每个因素所取值的个数称为该因素的水平。
正交表的符号为
，其中
表示正交表；下标
是正交表的行数，表示试验次数；
是正交表的列数，表示试验至多可以安排的因素个数；
是表中不同数字的个数，表示每个因素的水平数。例如
,8表示正交表中有8行，即安排试验的次数为8次；7表示正交表中有7列，试验至多可安排7个因素（包括交互作用的因素）；2表示每个因素只有两个水平。这种正交表称为2水平型的正交表。
 |
又如
，表示正交表中共有12行，4列，其中有一列是3水平的，有3列是2水平的。它称为混合型的正交表，可用来安排因素水平不同的试验。
[正交表的交互列] 任意两列分别安排了两个因素之后，这两个因素的交互作用可用表的其他列表示出来，称为交互列。交互列在2水平型正交表中只有一列，在3水平型正交表中有两列，例如
，任意两列的交互列是另外两列。通常低水平（水平数为2或3）的正交表有另外专表写出交互列，例如
的交互列表，指出第3列与第5列的交互列即是第6列等等。有些正交表，例如
，任意两列的交互列都不在表内，对这样的正交表就不能考虑因素间的交互作用了。
手册后面备有常用正交表。
的交互列表
|
1 2 3 4 5 6 7 |
列号 |
|
（1） 3 2 5 4 7 6 （2） 1 6 7 4 5 （3） 7 6 5 4 （4） 1 2 3 （5） 3 2 （6） 1 （7） |
1 2 3 4 5 6 7 |
[正交表的正交性] 正交表具有正交性：
1° 在任意一列中，每个水平的重复次数都相等，例如
中每列的每个水平都重复4次。
2° 任意两列中，同行数字（水平）构成的数对，包含着所有可能（该水平下）的数对,而每个数对重复次数相等。例如在
中任意两列构成的数对都包含着3水平下所有可能的数对：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），而且每个数对重复次数都等于1。
由于正交性，使得所安排的正交试验，均衡分散，整齐可比。
[试验方案的制定步骤与安排方法]
1° 步骤
（1） 确定试验中变化因素的个数及每个因素变化的水平。
（2） 根据专业知识或经验，初步分析各因素之间的交互作用，确定哪些是必须考虑的，哪些是暂时可以忽略的。
（3） 根据试验的人力、设备、时间及费用，确定可能进行的大概试验次数。
（4） 选用合适的正交表，安排试验。
2° 安排方法
（1） 在不考虑交互作用时，把因素逐个安排在正交表的任意列上，那末每次试验（对应于正交表的行）的试验条件（每个因素应取的水平）由安排因素的各列的水平确定。
例如，在试验用不发芽的大麦造啤酒的过程中，选了四个因素，每个因素三个水平，指标是粉粒状（%）。
因素水平表
|
因素 水平 |
底水（A） 浸氨时间 (B) 920浓度 (C) 氨水浓度(D) |
|
1 2 3 |
A1(140) B1(180) C1(2.5) D1(0.25) A2(136) B2(215) C2(3.0) D2(0.26) A3(138) B3(250) C3(3.5) D3(0.27) |
如果不考虑交互作用，可选用正交表
，得试验方案如下：
用
安排一个四因素的试验方案
|
列号（因素） 试验号 |
1(A) 2(B) 3(C) 4(D) |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1(A1) 1(B1) 1(C1) 1(D1) 1(A1) 2(B2) 2(C2) 2(D2) 1(A1) 3(B3) 3(C3) 3(D3) 2(A2) 1(B1) 2(C2) 3(D3) 2(A2) 2(B2) 3(C3) 1(D1) 2(A2) 3(B3) 1(C1) 2(D2) 3(A3) 1(B1) 3(C3) 2(D2) 3(A3) 2(B2) 1(C1) 3(D3) 3(A3) 3(B3) 2(C2) 1(D1) |
此表指出第1号试验的条件是
，第2号试验条件是
第9号试验的条件是
。
（2） 需要考虑交互作用时，因素不能任意安排，应利用相应的表头设计安排试验。此时要注意不能使不同的因素（包括所考虑的交互作用）同处一列(因为分析时无法将同处一列的不同作用分析出来)，如果做不到这一点，就需要采用更大的正交表。例如安排一个四因素A , B , C , D的试验，必须考虑交互作用
，其他交互作用可忽略不计。根据
的表头设计：
|
列号 因素个数 |
1 2 3 4 5 6 7 |
|
3 |
A B |
|
4 |
A B |
|
4 |
A |
|
5 |
|
因为是四因素试验，所以可将A ,
B , C , D分别安排在第1,2,4,7列上，第3,5列分别表示
及
，第6列空着。如果A
, B ,
C , D四个因素所有的交互作用都要考虑，则不能用
，应选用更大的正交表，如
。
[正交表的直观分析] 1° 计算第i水平的水平和Ki与水平均值ki例如用
安排的四因素3水平的试验方案，可列出直观分析表如下：
|
列号（因素） 试验号 |
1(A) 2(B) 3(C) 4(D) |
试验指标y |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 |
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 |
|
K1 K3 |
|
|
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k1 k2 k3 |
|
|
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极差R |
R(1) R(2) R(3) R(4) |
其中
表示第j列的i水平的试验指标和（简称水平和）
表示第j列的i水平的试验指标均值（简称水平均值）
表示第j列的
的极差
例如
2° 评定因素重要性顺序 依照各因素指标均值的极差的大小排出重要性顺序，极差大的表示该因素重要。
3°
画出各因素与试验指标的关系图 求出
后，对于每个j以水平值i横坐标，以ki为纵坐标描点并画出折线图，称为第j个因素与试验指标的关系图。若ki变化幅度大，则对应的因素的影响就愈大。若图上描出的点很分散，则说明该因素是主要的；若点比较集中，则说明该因素是次要的。
当需要考虑因素的交互作用时，对应某交互作用的ki列的就表示由于该交互作用的影响而引起的。同样可以画出因素之间的交互作用与试验指标的关系图。
对于既没有安排因素，也没有安排交互作用的“空列”，可以用来安排试验误差的估计。通过同样的计算得到ki，这可以看作是由于试验误差造成的，ki变化的大小反映了该试验误差的大小。也可以画出实验误差与试验指标的关系图。
4° 选定最优工艺条件（最优搭配方案） 在不考虑交互作用时，只需根据该试验指标的要求（即该指标是高者为优，或是低者为优），从每个因素的关系图中找出最优点（最高点或最低点）的水平，将各因素的最优水平组合起来就是对于该指标的最优工艺条件。
当需要考虑因素间的交互作用时，经过分析已知某两个因素的交互作用对试验指标影响很大，这时根据试验结果，把对应于该二因素所有不同水平组合的试验指标（若对于同一种组合有多次试验，则应求出其平均值）进行比较，选出该二因素的最优水平组合。最后，结合其他因素或交互作用选出的最优条件综合考虑，以确定最优工艺条件。
对于多指标的试验，每个指标都可按上述方法进行分析。最优工艺条件应根据各个指标的情况综合考虑才能确定。
[正交表的方差分析] 设在正交表中因素A被安排在第j列，该列的水平数为bj（或bA），每个水平的重复数为rj，试验次数为n（行数）（显然有rjbj=n），则因素A的平方和SA（或称为第j列平方和Sj）为
总平方和
为
不可忽略的交互作用的平方和
也按其所在列的平方和计算（公式同因素A的平方和SA的计算公式）。
误差平方和
等于
与所有安排有因素或交互作用的列的平方和
之差，即
正交表的方差分析表
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离差 来源 |
平方和 |
自 由 度 |
均 方 |
统 计 量 |
置 信 限 |
统计推断 |
AB
误差 |
SA SB
|
bA – 1 bB – 1
n误 |
|
|
|
当 当 |
|
总平 方和 |
|
n |
表中
对正交表进行方差分析可以定量地给出因素的主次关系，可以判断哪些因素是重要因素，哪些因素是次要因素。此时最优工艺条件的确定只要考虑重要因素，至于那些次要因素的水平，可根据其他条件确定。