第二十一章 集论与一般拓扑学
集是近代数学最基本的概念.本章首先介绍集论的公理系统.不过这个系统近来已被证明是不完备的,所以对这里所采取的出发点做了必要的说明(见§1,一的最后).其次介绍集论本身的主要内容─序数与基数理论.
本章另一主要内容是一般拓扑学.这里重点介绍对数学分析特别重要的几种特殊拓扑空间和点集——尺度空间(附一致性结构)、紧致集、联结集，还结合前两者讨论了变换族的点点收敛拓扑、一致收敛拓扑、紧致——开拓扑.最后，介绍流形和微分流形的概念和几个基本的存在定理.代数拓扑的知识不在本章介绍之列（唯一例外是在§6里谈到“单联”的概念），此外，在介绍微分流形的时候没有牵涉到微分几何结构（如切空间）.
§1 集(集合)
一、 集的定义
1.集的古典定义
[集与元素] 一些事物的全体叫做一个集,这些事物中的每一个,都称为这个集的(或这个集里的)元素.
如果某种事物只有一个,这个事物假定记做a,那末称这种事物的全体是集{a},a是{a}的唯一的元素.
如果某种事物不存在,就称这种事物的全体是空集.规定任何空集都只是同一个集,记作φ.任何事物都不是φ的元素.
每一个集都是一个事物.
[属于与包含] 假定a是集A的元素,记作
a
A或A
a
“
”读作“属于”，“
”读作“包含”.假定a不是A的元素，记作
或
“
”读作“不属于”，“
”读作“不包含”.
[定义的注释]
1° {a}和a一般是不同的概念,比如{φ}有一个唯一的元素φ,但是φ没有元素.
2°
和
在逻辑上是彼此相否定(非)的,换句话说,假定a是一个事物,A是一个集,那末
a
A和a
A
不能都成立,也不能都不成立.
3° 假定A和B都是集,如果任何一个事物属于A也一定属于B,属于B也一定属于A,那末A和B是同一个集,或称两个集A和B相等,记作A=B.
[集的例子] 假定有一些事物,全部写出来是a,b,c,…,那末由定义,它们的全体是一个集,这个集可以记成{a,b,c,…}.元素符号的次序和重复都无关实质,比如{a,b}={b,a}={a,b,a}.
由定义, φ是一个集,而集是一个事物,所以下列的事物都是集:
{φ},{{φ},φ},{{{{φ}},{φ}},{φ}}
又例如,零和正整数可以定义如下:
0 =φ
1 ={0} = {φ}
2 = {0,1}= {φ,{φ}}
3 = {0,1,2} = {φ,{φ},{φ,{φ}}}
4 = {0,1,2,3}
……………
[族] 族是集的同义词.在某些情况,比如一个集A的元素都是集的时候,为了避免混淆,也把A叫做一个族或者一个集族.
虽然在近代集论模型中,任何一个集的元素都是集(因为不考虑非集的“事物”)，但是有时使用“族”这个称呼可以表达得更清楚.
族有时也当作量词用.例如把属于一个集族的全部集说成“一族集”.