三、    正整数×超限序数×超限归纳法

    [正整数]  假定n是一个后继序数，比n小的所有序数是零（φ）或后继序数，那末说n是一个正整数.

    [有限序数与超限序数]  零或正整数称为有限序数.一个序数如果不是有限的，那末这种序数称为超限序数.

φ当作序数时，记作0.

    [无限公理]  至少存在一个集A有下面的性质:(i)φA;(ii)xA必有x∪{x}A.

定理 所有有限序数的全体是一个集ω,ω是最小的超限序数.所有正整数全体也是一个集.

事实上,每个有限序数必定属于无限公理所说的那种集A.所以由划分公理得到定理的结论.

    由这个定理知道,无限公理可以用下面的论点代替:“所有正整数全体是一个集”或者“所有有限序数的全体是一个集.”

    [超限序数的例子]

                      ω,ω+1,ω+2,ω+3,×××

所有这些序数的全体显然是一个用ω当作标号集的集{x_n|nω}，这里x_n=ω+n，ω是所有有限序数的全体.因此存在一个比它们都大的最小的序数，这是一个极限序数，记作ω2.同样由序数集{ω2+n|nω}得到一个比所有ω2+n都大的极限序数ω3.于是得到下列序数：

0,ω,ω2,ω3,×××

比ωn这些序数都大的最小序数记作ω²=ωω.同样还得到ωⁿ.比所有ωⁿ（nω）都大的最小序数记作ω^ω.

    同样道理，由ω,ω^ω,,,××× 得到一个比它们都大的最小的序数，记作e₀.

    还可以把比

e ₀,e ₀+1,

这些序数都大的最小的序数记作e₁.对任何正整数n+1，用e_n+1表示比e_n+1,都大的最小的序数.然后又把比e ₀,e ₁,e ₂,···都大的最小的序数记作e_ω.

    用类似办法还可得到因此得到序数.当然还可得到等等序数，不再多说.

    上面是专门利用那些用ω当作标号集的序数族得到新的序数.其实，还可利用那些用任何序数α当作标号集的序数集来得到新的序数；当α是极限序数的时候，从序数族{e_β|β<α}可以得到一个比所有e_β(β<α)都大的最小的序数，这序数就可记作e_α；当α是后继序数的时候，把e_α定义为比下列这个用ω当标号集的序数族

                         {}

的每个序数都大的最小的序数.

    [数学归纳法] 假定ω是所有有限序数的全体，Aω.如果φA并且由nA可以推出n+1A，那末A=ω.

    在实用上，A是当作使某个论点成立的所有有限序数的全体的.如果A满足上述数学归纳法的假设的话，那末A就是所有有限序数全体,所以，所有有限序数都使那个论点成立.

    数学归纳法只针对特殊的序数ω.实际上对一般序数（特别是超限序数）α，类似的结论也是成立的，这就是超限归纳法.

    [超限归纳法] 假定α是一个序数，Aa，如果φA，并且对任何一个βα，由所有比β小的序数γA可以推出βA，那末A=a.

    超限归纳法显然可以用下面推论的形式表达，有时候应用这种形式比较方便：

    推论  假定α是一个序数，φAÌα，那末存在序数β使对所有的成立，但是βA.