二、     一致空间

    [复合关系与逆关系]  假设X是一个集，u和是X里的两个关系（即是uX´X，vX´X）,规定

                     u={<x,y>|xX,yX，并且存在zX，使

<x,z>u并且<z,y>}

u当然也是X里的一个关系，称为u和的复合关系.

    再规定

u ^-1 ={<x,y>|<y,x>u}，

那末u ^-1也是X里的一个关系，称为u的逆关系.

    容易证明

（u）^-1= V ^-1u ^-1

    [一致空间]  假定X是一个集，U是X里的一个不空的关系族（即U¹φ并且UÍ^X´X2），并且满足条件：

    (i)  若uU，则对任何xX,<x,x>u；

    (ii) 若uU，则存在U，使u；

    (iii) 若uU，则u∩U；

    (iv) 若uU，u X´X，则 U；

    (v) 若uU，则u^-1U .

    那末称U为X的一个一致性，<X,U>称为一致空间（有时称X是在U这个一致性下的一致空间）.

    把满足条件（i）—（iv）的U称为X的一个拟一致性，对应的<X,U>称为拟一致空间.

    如果U和U'是集X的两个一致性，UU'，那末称U比U'粗，U'比U细.

    假定集X里有一个不空的关系族V，满足定义所说条件（i）和（ii），那末X的所有掩盖V的一致性的通集U₀也是一个一致性，是能掩盖V的最粗的一致性，称为V所繁殖的一致性，V称为U₀的一个亚基*.假定V是一致性U₀的亚基，并且对任何uU₀存在V使u，那末称V为U₀的一个基.

    对任何一个集X，由{{<x,x>|xX}}所繁殖的一致性是最细的一致性.

    尺度空间可以看作一致空间的特例：假定X是一个尺度空间，把X里的关系族{{<x,y>|x和y的距离小于γ}|γ是一个正数}所繁殖的一致性称为由X的尺度产生的一致性.通常除特别声明外，一个尺度空间X总是看作在这个一致性下的一致空间.实际上，上面“γ是一个正数”的条件可以改作“γ是一个正有理数”（由于一致性的条件（iv）），所以由尺度产生的一致性一定有可数的基.

    [一致拓扑与一致空间的尺度化]  假定<X,U>是一个一致空间.对xX，uU，把{y|<x,y>u}记作u[x]，称为x的一个邻域.由所有这种邻域所繁殖的拓扑称为X的一致拓扑.以后如果不另外声明，一个一致空间X总是看作在一致拓扑下的拓扑空间.

    如果在一个一致空间里可以规定一个尺度，由这尺度产生的一致性跟原来的一致性相同，那末称这一致空间是可以尺度化.

    一个一致空间可以尺度化的充分必要条件是：它的一致性有可数的基，并且它是T₂空间.一个一致空间可以拟尺度化的充分必要条件是：它的一致性有可数的基.

    [一致连续与一致同构变换]  假定<X,U>和<Y,V>是两个一致空间，f是一个把X变进Y的变换，如果对任何V，总存在uU，使对所有的<x,y>u,<f（x）,f（y）>成立，那末称f为一致连续.一致连续必定连续，但是在一致拓扑下连续不一定一致连续.

    一个变上的可逆一致连续变换称为一致同构变换.一致同构变换一定是同胚变换，但是反过来说不一定对.

    [一致收敛]  假定<Y,V>是一个一致空间，X是一个集，又假定<f_p|pQ>是^XY里的一个点网，f ^XY ，如果对任何V，存在一个qQ使对所有的p>q和所有的xX，

                       <f_p（x），f（x）>V

成立，那末称<f_p|pQ>一致收敛于f.

    假定<Y,V>是一致空间，X是一个集，那末还可以对^XY 规定一个一致收敛的一致性如下：对任何V，可以得到^XY 里的一个关系w

               w ={<f,g>|对所有的x ^XX，<f（x），g（x）>成立}.

所有这些w的全体所繁殖的一致性称为^XY 的一致收敛的一致性.由这一致性所产生的拓扑称为^XY 的一致收敛拓扑.可以看到，^XY 里的一个点网一致收敛就是在一致收敛拓扑下收敛的意思.