§2 初等函数及其数值计算
一、函数的概念与分类
[函数与反函数] 设D是给定的一个数集.若有两个变量x和y，当变量x在D中取某个特定值时，变量y依确定的关系f也有一个确定的值，则称y是x的函数，f称为D上的一个函数关系，记为y=f(x)，x称为自变量，y称为因变量.当x取遍D中各数，对应的y构成一数集R，D称为定义域或自变数域，R称为值域或因变数域.反过来，若把y视为自变量，x视为因变量，用y写出x的表达式：x=j(y)，则称y=f(x)与x=j(y)互为反函数.
[实变函数与复变函数] 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.
[一元函数与多元函数] 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.
[显函数与隐函数] 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.
[简单函数与复合函数] 若y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数，u=j(x)，则y称为x的复合函数，u称为中间变量，记作y=f[j(x)]，无中间变量的函数称为简单函数.
[有界函数与无界函数] 若存在两个数m, M(m£M)，使m£f(x)£M，对定义域上的任意x都成立，则称f(x)为定义域上的有界函数，m为其下界，M为其上界.若这样的数m和M至少有一个不存在，则称f(x)为定义域上的无界函数.
[单调函数与非单调函数] 若对于区间[a, b]中的任意x1>x2有f(x1)³f(x2)[或f(x1)£f(x2)]，则称f(x)为[a, b]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数.
[奇函数与偶函数]
若对于定义域中的任意x恒有
，则称f(x)为奇函数；若对于定义域中的任意x恒有
，则称f(x)为偶函数.
[周期函数与非周期函数] 若有一实数T¹0，使对定义域中的任意x恒有f(x+T)=f(x)，则f(x)称为以T为周期的周期函数；否则称f(x)为非周期函数.
[单值函数与多值函数] 若对于自变量x的一个值，因变量y有一个而且只有一个值与其对应，则称y为x的单值函数.若对于自变量x的一个值，与其对应的y值不止一个，则称y为x的多值函数.
[初等函数] 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.
二、幂函数与有理函数
[定义] 形如
的函数称为幂函数，式中a为任意实常数.
x的多项式
(a0, a1, L, an为常数，n为自然数)
称为有理整函数.
两个多项式的商
称为有理分式函数.
有理整函数和有理分式函数通称为有理函数，有时用符号R(x)表示.
[幂函数的图形与特征]
|
方程与图形 |
特 征 |
|
|
曲线通过点(0,0)和(1,1)；当x>1时，a越大曲线上升越快. 当a为偶数，函数为偶函数，在区间(0,¥)中为递增函数，在区间(-¥,0)中为递减函数. 当a为奇数，函数为奇函数和递增函数. |
|
|
曲线通过点(1,1). 当a为负偶数，函数为偶函数，在区间(-¥,0)中为递增函数，在区间(0, ¥)中为递减函数. 当a为负奇数，函数为奇函数和递减函数. |
三、指数函数与对数函数
[定义] 形如
的函数称为指数函数.
当a=e时，为书写方便，有时把
记作expx，把
记作exp{f(x)}，等等.
在函数关系式
中
，若把x视为自变量，y视为因变量，则称y是以a为底的x的对数函数，x称为真数，记作
.指数函数和对数函数互为反函数.
[函数图形与特征]
|
方程与图形 |
特 征 |
|
指数函数
|
曲线与y轴相交于点A(0,1). 渐近线为y=0. |
|
|
曲线与x轴相交于点A(1,0). 渐近线为x=0. |
[指数运算法则]
[对数的性质与运算法则] 在下面的公式中，假设a>0，同时所遇到的函数都假设是在定义域里讨论的.
零与负数没有对数 
对数恒等式 
换底公式 
[常用对数与自然对数]
1o 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作
2o 自然对数：以e=2.718281828459L为底的对数称为自然对数，记作
3o 常用对数与自然对数的关系：
式中M称为模数，
4o 常用对数首数求法：
若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少1.
若真数小于1，则对数的首数为负数，其绝对值等于真数首位有效数字前面“0”的个数(包括小数点前的那个“0”).
对数的尾数由对数表查出.
四、平面三角函数与反三角函数
1. 角的度量与换算
[角度制与弧度制]
1o
整个圆周的
的弧称为含有1度的弧，而1度的弧所对的圆心角称为1度的角.1度等于60分(记作
)，1分等于60秒(记作
).这种用度来度量角的方法称为角度制.
2o 把等于半径长的弧称为含有1弧度的弧，而1弧度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，这种用弧度来度量角的方法称为弧度制.
[度与弧度的换算] 弧度与度的关系是
式中q与a分别表示同一角的度数与弧度数.
度与弧度换算表Ⅰ
|
弧度 ( r ) |
度 (°) |
分 ( ¢ ) |
秒 ( ² ) |
|
1 |
57.29577951 |
3437.746771 |
206264.8063 |
|
0.017453293 |
1 |
60 |
3600 |
|
0.0002908882 |
0.016666667 |
1 |
60 |
|
0.0000048481 |
0.000277778 |
0.016666667 |
1 |
.表中黑体数字为精确值.
度与弧度换算表Ⅱ
|
度 |
360° |
180° |
90° |
60° |
45° |
30° |
|
弧度 |
|
|
|
|
|
|
[祖率(圆周率)p] 圆的周长与直径的比值称为圆周率，用p表示.由于我国古代南朝的数学家祖冲之在计算圆周率方面取得辉煌成就，因而圆周率也常称为祖率.
祖冲之算出p的值为3.1415926<p<3.1415927.
2. 三角函数的定义
[三角函数的定义和符号变化]
|
名称 |
正弦 |
余弦 |
正切 |
余切 |
正割 |
余割 |
||
|
定 义 |
|
|
|
|
|
|
||
|
符 号 与 |
增 减 变 化 |
Ⅰ |
+↑ |
+↓ |
+↑ |
+↓ |
+↑ |
+↓ |
|
Ⅱ |
+↓ |
-↓ |
-↑ |
-↓ |
-↑ |
+↑ |
||
|
Ⅲ |
-↓ |
-↑ |
+↑ |
+↓ |
-↓ |
-↑ |
||
|
Ⅳ |
-↑ |
+↑ |
-↑ |
-↓ |
+↓ |
-↓ |
||
[三角函数的图形与特征]
标准正弦曲线
周期：
与x轴交点（同拐点）：
极值点（极大点或极小点）：
余弦曲线
周期：
与x轴交点（同拐点）：
极值点：
一般正弦曲线
周期：
式中A>0为振幅，
为角频率，
为初相
与x轴交点（同拐点）：
|
|
极值点：
同时，
也属于一般正弦曲
它是将标准正弦曲线在y轴方向上伸
线(设
，可化为) 
长A倍，在x轴方向上压缩倍，并
向左平移
一段距离而得到.
正切曲线
y=tan
x
周期：
与x轴交点（同拐点）：
，
该点切线斜率为1.
渐近线：
余切曲线
|
|
周期：
与x轴交点（同拐点）：
，
该点切线斜率为－1.
渐近线：
正割曲线
|
|
周
期：
极大点：
极小点：
渐近线：
余割曲线
|
|
周
期：
极大点：
极小点：
渐近线：
3. 特殊角的三角函数值
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
度 |
弧度 |
||||||
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
度 |
弧度 |
||||||
|
22.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
67.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
180 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
表中
表示
，（即左、右极限）.一个锐角的余角的三角函数值等于这个角的余三角函数值，例如
，
，
.
4. 三角函数的基本关系和公式
[诱导公式]
三角函数的诱导公式表
|
函数 角 |
sin |
cos |
tan |
cot |
sec |
csc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
函数 角 |
sin |
cos |
tan |
cot |
sec |
csc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
表中n为整数.
[基本关系]
三角函数的相互关系表
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|
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|
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|
|
|
|
例如，若
，则
[加法公式]
[和差与积互化公式]
[倍角公式]
式中n为正整数.
[半角公式]
下列公式中根号所取符号与等号左边的符号一致.
[降幂公式]
以上式中的n为正整数.
[三角函数有限和公式]
5. 反三角函数定义
[反三角函数的定义域与主值范围]
|
函数 |
主值记号 |
定义域 |
主值范围 |
|
反正弦 |
若 |
|
|
|
反余弦 |
若 |
|
|
|
反正切 |
若 |
|
|
|
反余切 |
若 |
|
|
|
反正割 |
若 |
|
|
|
反余割 |
若 |
|
|
一般反三角函数与主值的关系为
式中n为任意整数.
[反三角函数的图形与特征]
反正弦曲线 反余弦曲线
拐点（同曲线对称中心）： 拐点（同曲线对称中心）：
，该点切线斜率为1
，该点切线斜率为－1
反正切曲线 反余切曲线
拐点（同曲线对称中心）： 拐点：
，该点切线斜率为1
，该点切线斜率为－1
渐进线：
曲线对称中心：
渐近线：
反正割曲线 反余割曲线
顶点：
顶点：
渐近线：
渐近线：
6. 反三角函数的相互关系与基本公式
[反三角函数的相互关系]
|
arc sin x = |
arc cos x = |
arc tan x = |
arc cot x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
带有*号者只当x为正值时适用.
[反三角函数基本公式]
|
arc sin x + arc sin y = |
arc sin x – arc sin y = |
|
|
|
|
arc cos x + arc cos y = |
arc cos x – arc cos y = |
|
|
|
|
arc tan x + arc tan y = |
arc tan x – arc tan y = |
|
|
|
|
2 arc sin x = |
2 arc cos x = |
|
|
|
|
2 arc tanx = |
cos (n arc cos x) = |
|
|
|
7. 三角形基本定理
|
|
[正弦定理]
式中R为
ABC的外接圆半径(图1.3).
[余弦定理]
|
|
[勾股定理] 在直角三角形(C为直角)中，勾方加股方等于弦方(图1.4)，即
勾股定理也称商高定理，外国书刊中称毕达哥拉斯定理.
[正切定理]
或
[半角与边长的关系公式]
式中
，r为ABC的内切圆半径，且
式中S为ABC的面积.
8. 斜三角形解法
|
已知元素 |
其他元素的求法 |
|
|
一边a及两角B, C |
|
|
|
两边a, b及夹角C |
|
|
|
三边a, b, c |
|
|
|
两边a, b及其中一边的对角A |
|
b sin A<a时，有两解 b sin A>a时，无解 b sin A=a时，有一解 |
五、球面三角
|
|
1. 球面三角有关名称及性质
[大圆] 用一通过球心O的平面截球，在球表面所得的截线称为大圆，其半径等于球的半径R(图1.5).
[大圆弧长] 连接球面上两点A, B的最短线是通过A, B的大圆上较短的弧
，其圆心角为a (以弧度计)，则弧长a = Ra.
[两大圆弧夹角] 两大圆弧的交点A上的相应大圆的切线(AB', AC')间的夹角称为这两大圆弧的夹角，它也可用两平面OAB和OAC所构成的二面角来度量(图1.6).
|
|
[球面二角形面积] 球面二角形ABA'C的面积(图1.6阴影部分)
(A为两大圆弧夹角，单位是弧度).
[球面三角形的球面角超(或球面角过剩)] 三个大圆在球面上可构成几个球面三角形，我们只考虑三边和小于p的哪些三角形.
|
|
设a，b，g为三条边(即三段大圆弧长，以球半径R为度量单位)，A，B，C为三个角(即三段大圆弧的两两夹角，图1.7).球面三角形的三个角之和一定大于180°，其差d = A + B + C－p叫球面角超(单位弧度)，d >0.
式中
.
[球面三角形面积] 球面三角形ABC(图1.7阴影部分)的面积S = R2d.
2. 球面三角形基本定理与公式
[正弦定理]
[余弦定理]
边：
角：
[余切定理]
边：
角：
[正切定理]
[五元素公式]
边：
角：
[半角公式]
式中
.
[半边公式]
[德兰布-高斯公式]
[耐普尔公式]
3. 球面三角形解法
[一般球面三角形计算公式]
|
已知元素 |
求解公式 |
|
三边： a , b , g
|
|
|
三角： A , B , C
|
|
|
已知元素 |
求解公式 |
|
两边及夹角： a , b , C
|
|
|
两角及夹边： A , B , g
|
|
|
两边及一对角： a , b , A
|
|
|
两角及一对边： A , B , a
|
|
[球面直角三角形计算公式]
|
已知元素 |
求解公式 |
已知元素 |
求解公式 |
|
斜边及一角： g , A |
|
两直角边： a , b |
|
|
一直角边及其对角： a , A |
|
斜边及一直角边： g , a |
|
|
一直角边及其邻角： a , B |
|
两角： A , B |
|
计算时，应尽量利用含未知元素的正切(或余切)的公式，应避免采用正弦的公式，计算结果可代入正弦定理公式进行验算.
六、双曲函数
1. 双曲函数的定义、图形与特征
[双曲函数定义]
|
函数 |
双曲正弦 sh x |
双曲余弦 ch x |
双曲正切 th x |
双曲余切 cth x |
双曲正割 sech x |
双曲余割 csch x |
|
定义 |
|
|
|
|
|
|
[双曲函数的图形与特征]
双曲正弦曲线 双曲余弦曲线
曲线关于原点对称. 曲线关于y轴对称.
拐点（同曲线对称中心）：
顶点（同极小值点）：
，该点切线斜率为1
双曲正切曲线 双曲余切曲线
曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称.
拐点（同曲线对称中心）：
不连续点：
，该点切线斜率为1
渐近线：
渐近线：
双曲正割曲线 双曲余割曲线
曲线关于y轴对称. 曲线关于原点对称.
顶点（同极大点）：
不连续点：
拐点：
渐近线：
渐近线：
2. 双曲函数的相互关系和基本公式
[双曲函数的相互关系]
|
|
sh x = a |
ch x = a |
th x = a |
cth x = a |
sech x = a |
csch x = a |
|
sh x = |
a |
|
|
|
|
|
|
ch x = |
|
a |
|
|
|
|
|
th x = |
|
|
a |
|
|
|
|
cth x = |
|
|
|
a |
|
|
|
sech x = |
|
|
|
|
a |
|
|
csch x = |
|
|
|
|
|
a |
[双曲函数基本公式]
和差的双曲函数
双曲函数的和差
倍 元 公 式
半 元 公 式
德·莫弗公式
3. 反双曲函数的定义、图形与特征
[反双曲函数的定义及其对数表达式]
|
函 数 |
记 号 |
对数表达式 |
|
反双曲正弦 |
若 x = sh y, 则 y = Ar sh x
|
|
|
反双曲余弦 |
若 x = ch y, 则 y = Ar ch x
|
|
|
反双曲正切 |
若 x = th y, 则 y = Ar th x
|
|
|
反双曲余切 |
若 x = cth y, 则 y = Ar cth x
|
|
|
反双曲正割 |
若 x = sech y, 则 y = Ar sech x
|
|
|
反双曲余割 |
若 x = csch x, 则 y = Ar csch x |
|
[反双曲函数的图形与特征]
反双曲正弦曲线 反双曲余弦曲线
曲线关于原点对称. 曲线关于x轴对称.
拐点（同曲线对称中心）： 顶点：
，该点切线斜率为1
反双曲正切曲线 反双曲余切曲线
曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称.
拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：
，该点切线斜率为1 渐近线：
反双曲正割曲线 反双曲余割曲线
曲线关于x轴对称. 曲线关于原点对称.
顶点： 不连续点：
拐点：
渐近线：
和
4. 反双曲函数的相互关系与基本公式
[反双曲函数的相互关系]
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
有*号者，当x>0时取正号，当x<0时取负号.
[基本公式]
5. 双曲函数与三角函数的对比
[双曲函数与三角函数的关系]
|
用三角函数表示双曲函数 |
用双曲函数表示三角函数 |
|
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|
|
|
|
|
|
表中
.
[三角函数、反三角函数、双曲函数与反双曲函数的几何意义]
|
图 形 |
几 何 意 义 |
|
2a为圆扇形COEA的圆心角(弧度)，圆扇形COEA的面积S=a |
三角函数
反三角函数
都是圆扇形COEA的面积，因此反三角函数又称圆函数
|
|
图 形 |
几 何 意 义 |
|
双曲扇形COEA的面积
|
双曲函数
反双曲函数
都是双曲扇形COEA的面积，因此反双曲函数又称面积函数 |
