第二章 初等几何图形的计算与作图

 

几何图形是从现实世界中抽象出来的，所以，几何图形的理论、计算与作图广泛应用与人们的社会实践中.

本章重点介绍两类常用的几何图形：一是平面图形，如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形；另一是空间立体图形，如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式.

另外，还介绍了一些图形（如正多边形）的作图方法，对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明.同时，明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图.

 

§1   三角形与四边形

 

一、  三角形各元素的计算

 


   1. 三角形各元素

             图 2.1                          图 2.2

a,b,c为三角形三边                 R为外接圆半径

A,B,C为三个角    r为内切圆半径

AD为a边上的高             H为垂心（三条高的交点）

AF为A角的平分线           G为重心（三条中线的交点）

AE为a边上的中线            为内心（三条角平分线的交点）

为半周长        为外心（三条垂直平分线的交点）

S为的面积

 

2. 三角形各元素计算公式

[高]         

 

[中线]       

 

[角分线]     

 

[面积]

    

[外接圆半径] 

        

 

[内切圆半径] 

 

二、  三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式

 

图形

面积S、几何重心G与转动惯量*J

长度   L=a

重心   GA=GB=

转动惯量

(a)转轴平行于细杆，到细杆距离

  为h(图(a))

         

(b)转轴通过细杆重心G,且与细杆

  垂直(图(b))

         

(c) 转轴通过细杆的一个端点,且与细

  杆垂直(图(c ))

         

  表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，

§3，五.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图形

面积S、几何重心G与转动惯量J

[任意三角形]

   a,b,c为三边,为a边上的高

 

 

 

 

 

[等腰三角形]

b为两腰,a为底边,为a边上高

重心     

 

转动惯量

(a)转轴通过重心G,且与a边平行

    (图(a))

       

(b)转轴与三角形一边a重合(图(b))

       

(c)转轴通过三角形一顶点A,且平行于a边(图(c ))

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

重心      

转动惯量

  转轴与底边上的高重合

       

   当a=b时

        

 

 

 

 

 

图形

面积S、几何重心G与转动惯量J

   a,b为邻边,d为对角线, 为对角线的夹角

 

a为边长,为顶角,为两对角线

面积    

重心     G在对角线的交点上,即

转动惯量

(a)转轴通过矩形中心,且垂直于矩形所在平面(图(a))

     

       

(b)转轴通过矩形中心,且与矩形的b边平行(图(b))

      

(c)转轴与矩形的b边重合(图(c))

      

 

 

 

 

面积  

重心G在对角线交点上,即

转动惯量

(a)转轴与对角线重合(图(a))

       

(b)转轴通过重心G且垂直于图形所在平面(图(b))

  

 

 

 

 

 

图形

面积S、几何重心G与转动惯量J

a,b为邻边,h为对边距,为顶角,为两对角线,为两对角线夹角

 

a,b为上下底,h为高,l为两腰中点连线

 

 

a,b,c,d为四边长,为两对角线,为两对角线夹角

面积  

         

 

重心   G在对角线交点上

 

 

 

 

 

 

面积  

重心  

      

      

转动惯量

转轴通过重心,且平行于上下底

(图(a))

    

当a=b时(平行四边形)

    

 

 

 

面积 

             

     

     

    或