第六章 积 分 学

 

    这一章综述了单变量函数的常义积分、广义积分、含参数积分的基本概念、性质和计算方法，收集了求不定积分、定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分的有关公式，主要的积分不等式以及积分的某些近似计算公式，简要地列举了积分在实际中的各种应用；编制了不定积分表和定积分表.

 

§１单变量函数的积分

 

一、积分基本概念

 

［不定积分（原函数）］ 如果在给定的区间[a ,b]上

                             

那末F (x)称为f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.

如果f (x)有一个原函数F (x)，那末它一定有无穷多个原函数，它们是形如

                          

（式中C是任意常数）的函数族，所以用记号

                                  

表示f (x)的原函数全体，称为f (x)的不定积分.

    ［定积分·黎曼积分］  设在区间[a,b]上给定了函数f (x).用任意方法把区间[a,b]分成若干部分，其分点为，并设λ是      (i=0,1,2,…,n－1)中最大的.在每一个小区间[]上任取一点 (i=0,1,2,…,n－1),作和（图6.1）.当λ→0时，如果极限

                                  

存在，那末这个极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作

                                  

此时，函数f(x)称为区间[a,b]上的可积函数（黎曼可积），a和b分别称为积分的下限和上限，f(x)称为被积函数，x是积分变量，“”是积分号.

   ［牛顿－莱布尼茨公式］  若函数f(x)在区间[a,b]上连续，或分段连续，则f(x)在[a,b]上有原函数，设F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则

                                                  

这称为牛顿－莱布尼茨公式，或微积分学基本定理，它指出了定积分与不定积分的内在联系.

   ［可积函数及其性质］

   １° 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)是可积的.

   ２° 若函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限多个间断点，则f(x)是可积的.

   ３° 单调有界函数一定是可积的.

   ４° 可积函数一定是有界的.

   ５° 若函数f(x)可积，则|f(x)|与kf(x)（k为常数）也可积.

   ６° 若函数f(x)，g(x)可积，则其和、差、乘积也可积.

   ７° 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]中的任一部分区间[α,β]上也可积.反之，若把[a,b]分割成若干部分区间，并分别在每个部分区间上f(x)可积，则它在整个区间[a,b]上可积.

   ［积分中值定理］儍儍儍儍

   １° 若函数f(x)在区间[a,b]上连续（图6.2），则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b)，使得

                                  

２° 若函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间[a,b]内不变号，则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b)，使得

                                  

这称为关于积分的第一中值定理.

３° 若函数f(x)，g(x)在区间[a,b]上有界且可积，而f(x)在[a,b]上是单调的，则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b)，使得

               

这称为关于积分的第二中值定理.

４° 除此条件而外，若f(x)非负单调下降（广义的），则

                                     (a<ξ<b)

若f(x)非负单调上升（广义的），则

                                     (a<ξ<b)

 

二、积分不等式

 

       设f(x),g(x)在区间[a,b]上可积，则有下列不等式：

       １° 若在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则

                                   ≤

       ２° 设，则

                                   m≤≤M

       ３° ≤

       ４° 施瓦兹不等式

                                   ≤

       ５° 赫尔德不等式　　设ｋ>1，>１，，则

                                   ≤

等号只当f(x)g(x)符号固定且（ｃ为正常数）时成立，当ｋ＝ｋ＇＝２时，就是施瓦兹不等式.

       ６° 闵可夫斯基不等式　设r>0，则

              ≤   (r≥1)

              ≥

                                                                             （r<1, f(x)与g(x)在[a,b]上同号）

等号只当f(x)=cg(x)(c为常数)时成立.      

       ７° 贝塞耳不等式　设（n为正整数）在[a,b]上为一正规正交系：

                                  

则

                                   ≤

       ８° 哈代不等式　设f(x)在［0，∞）上可微且上升，f '(x)连续，f(0)=0，p>１，则

                                  

等号只当f(x)≡０时成立.

 

三、原函数的求法

 

       １．不定积分法则

           , 

              (a,b为常数)           (线性运算)                                                       

                                                                         (变量替换)

                                                                              (分部积分)

                                                                      (配元积分)

       ２．有理分式的积分

       ［化成基本真分式法］　设R(x)是一个具有实系数的真分式，则R(x)的积分可化成它分解出的基本真分式（第一章，§１）的积分，并且

                

式中仍为一有理函数，并且还是真分式，H(x)一般是超越函数（对数函数和反正切函数）.

       ［奥斯特洛格拉特斯基方法］　任一真分式的积分可以写为

                    

式中，为真分式，

   

      

                                     

和的系数可利用待定系数法从关系式

 

                           

中求出.

       ３．有理函数积分的变量替换公式表

       表中R表示有理函数

积分类型

变量替换公式

 （n为整数）

 

 （m,n为整数）

 

式中r为n,m,…的最小公倍数

 

 

               a>0时

 

 

 

               c>0时

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（或x=asht,

)

 

(或x=acost,

)

 

(或x=acht,

)

 

（或dx=achtdt）

 

 

 

 

（或dx=-asintdt）

 

 

 

 

（或dx=-ashtdt）

 

 

 

 

积分类型

变量替换公式

（式中为分数）

 设m为的分母的最小公倍数,

    4．不定积分表

      表中略去积分常数，ln g(x)是指ln |g(x)|.

       [基本积分表]

            (常数)

         

lnx

            (a>0)

或

或

 

 

thx

cthx

sechx

cschx

thx

-cthx

        (a>0)

    (|x|<|a|)

 或

    (|x|>|a|)

 或

或

或

或

或

 

或

 

 

 

或

或

 

或

 

 

     [含ax+b的有理式的积分]    （）

     

()

 

 

 

（）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

或  

或  

 

 

          [含的积分]  （）

 

 

 

 

或

或

     （）

    （）

 

   

 

    

 

 

 

          [含的积分]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

或

 

 

 

 

 

 

 

          [含的有理式的积分]

 

 

         

       [含的积分]

       (a>0)

       (a<0)

     (a>0)

     (a<0)

      (a>0)

       (a<0)

      (n>0)

    (n>0)

        (c>0)

        (c<0)

        (n>1)

        (a>0)

        (a<0)

 

 

 

        (n>0)

      (a>0)

      (a<0)

      (c>0)

   (a>0,c<0)

      (n>1)

          [含的积分]

       (n>0)

    (n>0,c>0)

    (n>0,c<0)

 

 

 

 

 

    ()

 

 

 

 

 

       (n>0,p>1)

 

(n>0,p>1)

          [含)的有理式的积分]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

          [含的积分]

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 (n>1)

 

 

 

       [含的积分]

    (n为正整数)

   (n为正整数)

   (n为正整数)

 或

 

(n为的整数)

(n为正整数)

(n为正整数)

 

 

 

  (当

          时，取正号；否则取负号.k为整数 )

  (当

          时，取正号；否则取负号.k为整数 )

       [含的积分]

(n为正整数)

(n为正整数)

(n为正整数)

   (n为的整数)

   (n为正整数)

   (n为正整数)

 

 或

 

  (当

          时，取正号；否则取负号.k为整数 )

  (当

          时，取负号；否则取正号.k为整数 )

          [含和的积分]

或

式中

 

 

 

 

 

 

或

 

 

 

 

 

 

或

 

 

 

 

f(x)

 

  

      [含和的积分]

f(x)

 

 

 

(n为的整数)

(n为的整数)

 

          [含和的积分]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

或

 

 

或

       [含的积分]

         (n>0)

(n为正整数)

(n为正整数)

         (n>0)

    (n为的整数)

   

    (b,c>0)

    (b,c>0)

或

 

 

 

 

 

 

          [含的积分]

或

 

或

 

 

 

 

          [含的积分]

 

 

 

 

       (当时，取正号；

        当时，取负号)

(当时，取正号；

当时，取负号)