二次半微分 = 1阶微分,
`d^0.5/dx^0.5 d^0.5/dx^0.5 x = d/dx x = 1`
对于任意的o(x),由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如
`D^(3/2)`f(x)=`D^(1/2)D^1`f(x)=`d^(1/2)/dx^(1/2) d/dx` f(x)
这苻合Caputo的定义,
Caputo的定义是先微分后积分,对于分数阶微分方程的初值要求与普通微分方程相同,因此本文釆用广义Caputo的定义: 积分下限a为f(x)的反函数`f^(-1)(0)` .
负阶导数相当积分, 负一阶等于积分, 负2阶是二重积分,负1/2阶是半积分.
`d^(-0.5)/dx^(-0.5)` f(x) = `int f(x) (dx)^0.5`
(1+i)阶微分和(1-i)阶微分 = 2阶微分,
`d^(1+i)/dx^(1+i) d^(1-i)/dx^(1-i) sin(x) = d^2/dx^2 sin(x) = -sin(x)`
这个动画展示了不同分数微分算子D如何操作在 y=x(o(x)=0阶, 蓝色),结果(分数阶, 绿色)在一般的积分(o(x)= -1阶, y=x^2/2 ,紫色)及一般的一次微分( o(x)=1阶, y=1 ,红色)间连续变化。
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近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计, 电化学. 最后二篇参考资料就是在电化学的应用。