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任意阶微积分 Any Order Calculus

将导数从自然数推广到一切数域(即不仅是自然数也包含负数、小数、无理数、虚数或复数、函数, ……), 就得到任意阶微积分, 一统天下把微分与积分统一到一个公式`d^(o(x))/dx^(o(x))`y, 其中o(x)是阶函数(the order function )。当o(x)是正整数时它是导数微分,当o(x)是负整数时它是积分,负2阶是二重积分,当o(x)是分数时它是分数阶微积分, 当o(x)是变量时它是可变阶导数。这些都可用数学手册计算器计算.

分数阶微积分 Fractional Calculus

  • 分数阶导数简介

    二次半微分 = 1阶微分,
    `d^0.5/dx^0.5 d^0.5/dx^0.5 x = d/dx x = 1`

    对于任意的o(x),由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如
    `D^(3/2)`f(x)=`D^(1/2)D^1`f(x)=`d^(1/2)/dx^(1/2) d/dx` f(x)

    这苻合Caputo的定义,

    Caputo的定义是先微分后积分,对于分数阶微分方程的初值要求与普通微分方程相同,因此本文釆用广义Caputo的定义: 积分下限a为f(x)的反函数`f^(-1)(0)` .

    负阶导数

    负阶导数相当积分, 负一阶等于积分, 负2阶是二重积分,负1/2阶是半积分.
    `d^(-0.5)/dx^(-0.5)` f(x) = `int f(x) (dx)^0.5`

    复数阶微积分

    以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数阶。举个例子, (1-i)阶导数作用后, (1+i)阶导数再作用,可以得到二阶导数。

    (1+i)阶微分和(1-i)阶微分 = 2阶微分,
    `d^(1+i)/dx^(1+i) d^(1-i)/dx^(1-i) sin(x) = d^2/dx^2 sin(x) = -sin(x)`

    可变阶微积分 Variable Order calculus

    当阶数o(x)是变量时, 它是可变阶导数微分。
    `d^cos(x)/dx^cos(x)` sin(x) = d(sin(x),x,cos(x))

    这个动画展示了不同分数微分算子D如何操作在 y=x(o(x)=0阶, 蓝色),结果(分数阶, 绿色)在一般的积分(o(x)= -1阶, y=x^2/2 ,紫色)及一般的一次微分( o(x)=1阶, y=1 ,红色)间连续变化。

    分数阶微分方程 Fractional differential equation

    `d^(pi)/dx^(pi) y - int y(x) (dx)^pi` = 2exp(x)

    分数维空间

    我们生活在的三维立体空间可以扩展到分数维空间,分数维空间对应分数阶导数, 分数阶导数的几何意义是分数维理论, 分数维理论就是分形理论.

    计算

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    使用经验

    1. 怎么求函数的分数阶导数?兼谈数学手册计算器_百度经验
    2. 分数阶导数 - qq_34040902的博客 - CSDN博客
    3. 特殊的微分方程的解法_百度经验

    例题

    应用

    近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计, 电化学. 半微分在电化学的应用[1-3], 分形理论应用于电化学[4-6].

    参考文献

    1. J. Mo, P. Cai, W. Huang and F. Yun, Study on the multiple semi-differential electroanalysis of electrochemical stripping method with thin mercury film formed in situ, J. Zhongshan Uni. (Zhongshan Daxue Xuebao), 1984, (4), 76-84, CA 103: 115269.
    2. J. Mo, P. Cai, W. Huang and F. Yun, Theory and application on multiple semidifferential electrochemical stripping analysis with thin mercury film formed in situ, Acta Chimica Sinica, 1984, 42(6), 556-561, CA 101: 162712.
    3. J. Mo, W. Huang and R.J. Zhang, New Advances in convolution voltammetry (Review), J. Anal. Determ. (Fenxiceshi Tongbao), 1985, 4(3), 1-8, CA 105: 163910.
    4. W. Huang and B. Hibbert, Computer modelling of electrochemical growth with convection and migration in rectangular cell, Phys. Rev. E, 1996, 53(1), 727-730.
    5. J. Jiang, W. Huang and B. Hibbert, Determining fractal dimensions of DLA structures using cumulative randic indices, Physica A, 1996, 233(3-4), 884-887.
    6. W. Huang and B. Hibbert, Fast fractal growth with diffusion, convection, and migration by computer simulation: Effects of voltage on probability, morphology and fractal dimension of electrochemical growth in a rectangular cell, Physica A, 1996, 233(3-4), 888-896.

    书单

  • 分数阶导数简介
  • 分数阶微分方程1
  • 分数阶微分方程-3 
    参阅
    1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
    2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
    4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
    5. 数学公式 - 函数图 - 曲线图 - 立体图 - 动画 - 例题
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    8. 例题:

    
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