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任意阶微积分 Any Order Calculus

将导数从自然数推广到一切数域(即不仅是自然数也包含负数、小数、无理数、虚数或复数、函数, ……)，就得到任意阶微积分, 一统天下把微分与积分统一到一个公式`d^(o(x))/dx^(o(x))`y, 其中o(x)是阶函数（the order function )。当o(x)是正整数时它是导数微分，当o(x)是负整数时它是积分，负2阶是二重积分，当o(x)是分数时它是分数阶微积分，当o(x)是变量时它是可变阶导数。这些都可用数学手册计算器计算.

分数阶微积分 Fractional Calculus

分数阶导数简介

二次半微分 = 1阶微分,
`d^0.5/dx^0.5 d^0.5/dx^0.5 x = d/dx x = 1`

对于任意的o(x),由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如
`D^(3/2)`f(x)=`D^(1/2)D^1`f(x)=`d^(1/2)/dx^(1/2) d/dx` f(x)

这苻合Caputo的定义，

Caputo的定义是先微分后积分，对于分数阶微分方程的初值要求与普通微分方程相同，因此本文釆用广义Caputo的定义: 积分下限a为f(x)的反函数`f^(-1)(0)` .

负阶导数

负阶导数相当积分, 负一阶等于积分, 负2阶是二重积分，负1/2阶是半积分.
`d^(-0.5)/dx^(-0.5)` f(x) = `int f(x) (dx)^0.5`

复数阶微积分

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数阶。举个例子， (1-i)阶导数作用后， (1+i)阶导数再作用，可以得到二阶导数。

(1+i)阶微分和(1-i)阶微分 = 2阶微分,
`d^(1+i)/dx^(1+i) d^(1-i)/dx^(1-i) sin(x) = d^2/dx^2 sin(x) = -sin(x)`

可变阶微积分 Variable Order calculus

当阶数o(x)是变量时, 它是可变阶导数微分。
`d^cos(x)/dx^cos(x)` sin(x) = d(sin(x),x,cos(x))

这个动画展示了不同分数微分算子D如何操作在 y=x（o(x)=0阶, 蓝色），结果（分数阶, 绿色）在一般的积分（o(x)= -1阶, y=x^2/2 ，紫色）及一般的一次微分（ o(x)=1阶, y=1 ，红色）间连续变化。

分数阶微分方程 Fractional differential equation

`d^(pi)/dx^(pi)` y - y - 2exp(x) = 0

分数维空间

我们生活在的三维立体空间可以扩展到分数维空间，分数维空间对应分数阶导数, 分数阶导数的几何意义是分数维理论, 分数维理论就是分形理论.

计算

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使用经验

例题

应用

近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计, 电化学. 半微分在电化学的应用 [1-3], 分形理论应用于电化学 [4-6].

参考文献

J. Mo, P. Cai, W. Huang and F. Yun, Study on the multiple semi-differential electroanalysis of electrochemical stripping method with thin mercury film formed in situ, J. Zhongshan Uni. (Zhongshan Daxue Xuebao), 1984, (4), 76-84, CA 103: 115269.
J. Mo, P. Cai, W. Huang and F. Yun, Theory and application on multiple semidifferential electrochemical stripping analysis with thin mercury film formed in situ, Acta Chimica Sinica, 1984, 42(6), 556-561, CA 101: 162712.
J. Mo, W. Huang and R.J. Zhang, New Advances in convolution voltammetry (Review), J. Anal. Determ. (Fenxiceshi Tongbao), 1985, 4(3), 1-8, CA 105: 163910.
W. Huang and B. Hibbert, Computer modelling of electrochemical growth with convection and migration in rectangular cell, Phys. Rev. E, 1996, 53(1), 727-730.
J. Jiang, W. Huang and B. Hibbert, Determining fractal dimensions of DLA structures using cumulative randic indices, Physica A, 1996, 233(3-4), 884-887.
W. Huang and B. Hibbert, Fast fractal growth with diffusion, convection, and migration by computer simulation: Effects of voltage on probability, morphology and fractal dimension of electrochemical growth in a rectangular cell, Physica A, 1996, 233(3-4), 888-896.