§4  实根的近似计算

       f(x)为已知连续函数,ξ是方程

f(x)=0

的根,这里方程可以是一般方程(代数方程或超越方程).在实际问题中都给出了根的范围,例如代数方程

f(x)=a0xn+a1xn1+L+an1x+an=0

的根ξ的范围是

|ξ|£1+max{|a1|,|a2|,L,|an|}

因此可以假定方程在区间(a,b)内只有一个根(若有两个根,则将区间的一个端点换为使(x)=0的点).并由函数的连续性可知,一般来说,在根的附近f(x)是异号的(当(ξ)=0除外),所以在下面介绍的各种近似计算中,都假定f(a)f(b)异号.

一、秦九韶法*

秦九韶法基本上是通过逐次试验求根的近似值的方法,试验次数愈多,所得近似值愈接近根的真值.系统地继续这一过程,直至达到预定的有效数字的位数.现举例具体说明这个方法.

   求方程

                     f(x)=                              (1)

的根到五位有效数字.

应用笛卡尔符号法则可知这个方程有一个正根.由于f(1)=-11f(2)14,这个正根在(1,2)之间.

现在应用秦九韶法求这个方程的近似根.先设,这里表示1到所求根的距离.应用多项式的泰勒公式(秦九韶法,§2,),得到关于的方程

                                                (2)

其算式为

                    

   现在求纯小数的近似值,由于纯小数的三次方或二次方的值更小,可暂舍去方程(2)的头两项而来计算21110,即0.5238….但舍去的两项是正的,这个值显得太大.0.500时,方程(2)的左边各项的和是仍是正数(0.375),而当0.400时,方程(2) 的左边各项的和是负数(2.056).因此,设,,再应用多项式的泰勒公式,得到关于h的方程

                                               (3)

其算式为

                    

现在求小数h的近似值,舍去头两项,求得h0.08609….因舍去两个正量,所得的h太大,所以设h0.08,.应用上述方法得到关于的方程

                                        (4)

同上面一样,从方程(4)的后两项求得,

* 我国古代数学家秦九韶在他所著的<<数书九章>>(1247),给出一个求代数方程的根近似值

  的方法,这个方法一般书上都称为和纳法.实际上和纳在1819年才提出这个方法,比秦九

  韶晚五百多年.

得到关于的方程

                                  (5)

从后两项求出的近似值=0.0008…,因舍去的都是正量,所以方程(5)的根在0.00080.00081之间.

现在把(2),(3),(4),(5),的各个近似值0.4,0.08,0.004,0.0008相加得总和0.4848,然后加到第一次近似值1上,所以方程(1)的根在1.48481.48481之间,取五位有效数字为1.4848.

用秦九韶法还能求负的近似值.想求f(x)0的一切负实根,可先求 f(x)的正实根,然后改变符号,即得负实根.