三、迭代法

把方程f(x)=0表成它的等价形式

x=j (x)

或一般地

f1(x)=f2(x)

式中f1(x)是这样一个函数:对任意实数c,能容易算出方程f1(x)=c的精确度很高的实根.如果对任意,下式成立:

则下面迭代过程是收敛的.

       首先从一个近似根x0出发(x0可由图解法粗略估计出),代入方程右边,解方程

文本框:  
             图   3.3
f1(x)=f2(x0)

得到第一个近似根x=x1,再解方程

f1(x)=f2(x1)

得到第二个近似根x=x2L,类似地由第n个近似根xn,解方程

f1(x)=f2(xn)

得到第n+1个近似根x=xn+1,于是得到一系列不同精确度的近似根

x0,  x1,  x2,L, xn,L

它收敛于方程的根ξ(图3.3.

       收敛速度(即误差消失速度)与an相当,而

a

      

代替x2可加速收敛.式中Dx1=x2x1x1的一阶差分,D2x0=Dx1Dx0x0的二阶差分.

文本框:  
         图     3.4
       对于方程x=j (x),只要j(x)[a,b]上连续,且q<1,那末,它的根可由

x1=j (x0)

x2=j (x1)

LLLL

xn+1=j (xn)

来接近(图3.4.