§2  矩阵的运算

一、        矩阵的相等、加、减、数乘、乘法、转置与共轭

运算及其规则

  性质与说明

  [相等]

=

当且仅当

             

    相等矩阵必须具有相同行数与相同列数.

    两矩阵相等,指各对应位置的元素分别相等.

  [加减]

±

                   =

其中

                        

同类型的矩阵才能相加减(各对应位置的元素相加减).

A+B=B+A      (交换律)

(A+B)+C=A+(B+C)  

               (结合律)

  [数乘]

=

数乘矩阵时,将数乘到矩阵的每个元素上.

kA=Ak

k(A+B)=kA+kB

(k+l)A=kA+lA

k(lA)=(kl)A

(k,l为任意两个复数)

  [乘法]

  A=(aij)m´n矩阵

  B=(bij)n´s矩阵,

  AB=(aij) (bij)=(cij)=C

式中Cm´s矩阵,且

cij=    

   运算及其规则

乘积的元素cij,等于左矩阵的第i行与右矩阵的第j列对应元素相乘之后相加.

左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数.

ABC=ABC    (结合律)  

  k(AB)=(kA)B=A(kB)

      (k是任意复数)

[]AB=BA一般情况下不成立,即无交换律.

   性质与说明

  [转置] m´n矩阵A=(aij)的列同行互换后所得到的n´m矩阵称为A的转置矩阵,记作,

 

   =         

(A+B)t=At+Bt

(kA)t=kAt(k为任意复数)

(AB)t=BtAt(反序定律)

(A1A2...As)t=

(Ak)t=(At)k (k为整数)

[共轭] 把矩阵A=(aij)的所有元素换成它们的共轭复数后所得到的矩阵称为A的共轭矩阵,记作,即

                  =

   (k为任意复数)