二、一般情形的线性方程组

含n个未知量m个方程的线性方程组取如下形式

（1）

记

A=

则给定线性方程组的矩阵形式为

Ax=b （1）

相应的齐次方程组为

Ax=0 （2）

A称为方程组（1）的系数矩阵，

称为方程组（1）的增广矩阵.

[线性方程组有解的判别定理] 以r(A),r(C)分别表示系数矩阵A与增广矩阵C的秩，则有

1° 当m=n且r(A)= r(C)=n（或ôAô ¹ 0）时，方程组（1）有唯一解；

2° 当r(A)< r(C)时，方程组（1）无解，这时（1）称为矛盾方程组；

3° 当r(A)= r(C)=r<n（或ôAô =0）时，方程组（1）有无穷多组解；

4° 齐次线性方程组（2）有非零解的充分必要条件是：r(A)<n（）.

[线性方程组的解的结构]

1°当r(A)=r<n时，齐次方程组Ax=0的任一非零解x=(x₁,x₂,...,x_n)t都可用它的n?r个线性无关解x⁽ⁱ⁾=的线性组合来表示.

这n-r个线性无关解称为方程组的基础解系，它不是唯一的.

2 设x⁽⁰⁾=是线性方程组Ax=b的一个特解，则它的任一解x=(x₁,x₂,...,x_n)t 都可以表示为

x=x⁽⁰⁾+h

式中h =是它相应的齐次方程组Ax=0的一个解.