二、    函数的极限

1．  基本概念

[双边极限(函数在某一点的极限)]  若对任意小的ε>0，都存在一个正数δ=δ(ε)，使得对一切满足不等式0<|x-a|≤δ的值x,|A-f(x)|<ε都成立，则称数A为函数f(x)在点a的极限，记作

=A

[单边极限(左极限与右极限)]若对任意小的ε>0，都存在一个正数，使得对一切满足不等式 的值x， 都成立，则称数A′为函数f(x)在点a的左极限，记作

若对任意小的，都存在一个正数，使得对一切满足不等式的值x,都成立，则称数A″为函数f(x)在点a的右极限，记作

f(x)=f(a+0)=A″

[无穷极限]  若对任意大的正数M,都存在一个正数，使得对一切满足不等式的值x,恒有

|f(x)|>M

则称函数f(x)在点a的极限是∞，记作

=

[局部极限]  若对某序列x_n→a有等式

=B

则称数B(或符号∞)为函数f(x)在点a的局部极限(有穷的或无穷的).

[上极限与下极限]  局部极限中最小的和最大的分别用

和

来表示，它们分别称为函数f(x)在点a的下极限和上极限.